Приклади розв’язання типових задач3

Приклад 3

Визначити кількість інтервалів та побудувати інтервальний варіаційний ряд у табличному та графічному вигляді на основі наведеної сукупності ознаки Х:35, 36, 36, 38, 40, 40, 41, 41, 43, 45, 46, 46, 47, 50, 50, 51, 51, 52, 52, 52, 53, 55, 57, 59, 59, 60, 60, 61, 62, 64, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 72, 73, 73, 75, 75, 76, 76, 77, 78.

Розв’язання

Для визначення кількості інтервалів скористуємося формулою Стерджеса:

m = 1 + log₂ n,де n – обсяг сукупності.Оскільки обсяг сукупності n = 45, то перейдемо від логарифму по основі 2 до десяткового логарифму за формулою:

log_а n = log_b n / log_b a, абоlog₂ n = log₁₀ n / log₁₀ 2, враховуючи, що log₁₀ 2 = 0,3010, маємоlog₂ n = 3,322 log₁₀ n, тоді формула Стерджеса набуває вигляду:m = 1 + 3,322 lg nоді кількість інтервалів: m = 1 + 3,322 × 1,6532 = 6,49 = 6.

Оскільки значення ознаки розташовані більш менш рівномірно, використовуємо принцип рівності інтервалів. Ширину кожного інтервалу обчислюємо за формулою:h = (x_max – x_min) : m,

де x_max – максимальне значення ознаки x_min – мінімальне значення ознаки m – число інтервалів.h = (78 – 35) : 6 = 7,2.Тепер визначаємо межі інтервалів:x_{min 1} = x_min = 35.x_{max 1} = x_{min 2} = x_{min 1} + h = 35 + 7,2 = 42,2;x_{max 2} = x_{min 3} = x_{min 2} + h = 42,2 + 7,2 = 49,4;x_{max 3} = x_{min 4} = x_{min 3} + h = 49,4 + 7,2 = 56,6;x_{max 4} = x_{min 5} = x_{min 4} + h = 56,6 + 7,2 = 63,8;x_{max 5} = x_{min 6} = x_{min 5} + h = 63,8 + 7,2 = 71;x_{max 6} = x_{min 6} + h = 71 + 7,2 = 78,2Створюємо таблицю, яка складається з двох рядків. У верхньому рядку наводимо значення ознаки Х у вигляді визначених інтервалів. Підраховуємо кількість ознак, значення яких потрапляє до відповідного інтервалу, і результати наводимо у нижньому рядку. Отримаємо таку таблицю:

Х	35 – 42,2	42,2–49,4	49,4–56,6	56,6–63,8	63,8–71	71–78,2	Разом
f	8	5	9	7	7	9	45

Розподіл значень ознаки Х

Висновок: визначивши кількість інтервалів та побудувавши інтервальний варіаційний ряд у табличному та графічному вигляді на основі наведеної сукупності ознаки Х, ми бачимо, що найбільша кількість одиниць сукупності знаходиться в двох інтервалах (49,4 – 56,6) та (71,0 – 78,2) – по 9 одиниць, а найменша - 5 одиниць - у другому інтервалі (42,2 – 49,4).

Приклад 4

Дані про розподіл робітників двох підприємств за рівнем заробітної платні наведені у таблиці:

1 підприємство		2 підприємство
Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників	Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників
До 500	20	До 500	15
500 – 700	52	500 – 650	25
700 – 900	64	650 – 800	48
900 – 1100	46	800 – 950	69
1100 – 1300	28	950 – 1100	72
1300 і більше	10	1100 – 1250	45
		1250 і більше	18
Разом	220	Разом	292

Провести перегрупування робітників за рівнем заробітної платні, утворивши такі групи: до 700; 700 – 1000; 1000 – 1300; 1300 і більше.Розв’язанняПерегрупування, або вторинне групування, проводиться за припущенням, що в межах одного інтервалу значення ознак розташовано рівномірно. Це припущення дає право ділити частоту інтервалу на частки, пропорційно відрізкам інтервалу.

Так, за умовами вторинного групування слід утворити перший інтервал до 700. Для першого підприємства до новоутвореного інтервалу за даними первинного групування увійде перший інтервал (до 500) та другий інтервал, оскільки 700 становить верхню межу другого інтервалу. Враховуючи припущення, до першого новоутвореного інтервалу ввійде частота першого інтервалу первинного групування та частота другого інтервалу первинного групування.

Таким чином, частота першого інтервалу вторинного групування дорівнюватиме 20 + 52 = 72, ми використовуємо тут метод простого укрупнення інтервалу. Другий інтервал вторинного групування включає повністю третій інтервал (700 – 900) та половину четвертого інтервалу первинного групування, так як його верхня межа становить 1000. Відповідно частота другого інтервалу вторинного групування дорівнюватиме 64 +0,5 × 46 = 87. Тут використовується метод перегрупування за часткою окремих груп в загальному їх підсумку (пропорційний дольовий перерозподіл).

Аналогічно проводимо розрахунки для решти інтервалів. Розрахунки наведені у відповідних таблицях.

Підприємств

Первинне групування		Вторинне групування
Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників	Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників
До 500	20	До 700	20 + 52 = 72
500 – 700	52	700 – 1000	64 + 0,5×46 = 64+ 23= = 87
700 – 900	64	1000 – 1300	0,5×46 + 28 = 23+28 = = 51
900 – 1100	46	1300 і більше	10
1100 – 1300	28	×	×
1300 і більше	10	×	×
Разом	220	Разом	220