№1 Задачи физического и геометрического содержания,приводящие к решению ДУ

Пример:Механический смысл

1) = /m

=

= /m

Оду:

В любой точке кривой tg угла наклона равен удвоенному аргументу y= . Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y', y" )=0,где F — известная функция трех переменных, определенная в области G из R³,   x — независимая переменная из интервала (a, b), y(x) — неизвестная функция, y'(x) — ее производная.  Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида y'=f(x, y) называют уравнениями в нормальной форме.

Порядком ДУ называют порядок старшей производной искомой функции y,входящей в данную функцию.

F=(x,y,

F=(x,y, )=0

Линейное уравнение n-ого порядка: ,… )

Если правая часть линейна относительно x,y, , то уравнение называется линейным ДУ n-ого порядка.

Решения и интегральные кривые ДУ: любая функция y=y(x),определенная и непрерывная на интервале (а,в) вместе с производной n-ого порядка и,обращающая это уравнение в тождество при всех значениях x интервала (а,в) называется решением ДУ на этом интервале (а<x<в). F=(x,y(x), )=0-явный вид решения;Ф(x,y)- неявный вид решения;x=φ(t),y=ψ(t)

№2.Основная задача теории интегрирования универсального ДУ

Пример нахождения решения ДУ называется интегрированием.Если удается найти решение элементарной ф-ии ,то говорят,что уравнение интегрируется в элементарной степени.Если уравнение не интегрируется в элементарной ф-ии,но все его решения выражаются в неопределенном интеграле от дифференциальной ф-ии,то говорят,что данное уравнение интегрируется в квадратурах.Квадратурой называется операция взятия неопределенного интеграла .

Если уравнение удается проинтегрировать в элементарных ф-ях или квадратурах,то говорят что оно интегрировано в конечном виде.Следует отметить,что большинство универсальных уравнений не интегрируется в элементарном виде.Основная задача теории интегрирования ДУ состоит в нахождении всех решений и изучении их свойств.

Математическое моделирование реальных процессов с помощью ДУ

Задача:изучение реальных объектов или процессов состоит в выявлении их свойств на предмет прогнозирования поведения и оптимального управления ими.

Решение этой задачи облегчается,если вместо самих процессов изучать их модель.Модель должна правильно воспроизводить исследуемые свойства процессов.При этом поведение модели для реального объекта должны подчиняться одним закономерностям.На практике для изучения реальных процессов и явлений в большинстве случаев используют математические модели:

Любая математическая модель должна удовлетворять требованиям:

1)адекватность процессу(модель должна отражать наиболее характерные связи м/у величинами,участвующими в процессе,учитывать свойства среды и информацию о начальном состоянии процесса.Только в этом случае по поведению модели можно судить о поведении самого процесса/объекта).

2)разрешимость модели (модель должна быть не слишком сложной ,при этом,желательно иметь численное или аналитическое разрешение)

3)Ду 1-ого порядка и его решение. Изоклины. Поле направлений.

ДУ- называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят явно производные искомых функций до некоторого порядка. Вид такого уравнения:

(1.1)

Здесь t - независимое переменное, x - неизвестная функция, зависящая от t.  - ee производная. F - заданная функция трех вещественных переменных.Уравнение (1.1) называется уравнением первого порядка потому, что в него входит лишь производная первого порядка от неизвестной функции x.

Решением уравнения (1.1) называется такая функция x =(t) независимого переменного t, определения на некотором интервале r1  <  t  <  r2 (случаи r1 =  и r2 = +  не исключаются), которая дифференцируема в каждой точке этого интервала и при подстановке ее вместо x в соотношение (1.1) мы получаем тождество (по t) на всем интервале r1 < t < r2. Интервал r1 < t < r2 называется интервалом определения решения (t). (1.2)

(1.2)

ДУ (1.2) называется разрешенным относительно производной или уравнением нормального вида.

Интегральная кривая представляет собой кривую в плоскости R² с уравнением x =(t), имеющую в каждой точке касательную и полностью проходящую в открытом множестве D.

Итак, интегральная кривая - геометрическая интерпретация решения ДУ. Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решения заключается в том, что любая интегральная кривая x =(t) в каждой своей точке (t,(t)) касается прямой l_t,(t).

Поле направлений- совокупность точек плоскости хОу, в каждой из которых задано определённое направление, изображающееся обычно стрелкой (небольшим отрезком), проходящей через данную точку. Если дано уравнение y' = -f (x, у), то в каждой точке (х_0, у₀) некоторой области плоскости хОу известно значение углового коэффициента k = f (x₀, y₀) касательной к интегральной кривой ,проходящей через эту точку; направление касательной можно изобразить стрелкой (небольшим отрезком). Таким образом, это дифференциальное уравнение определяет П. н.; наоборот, П. н., заданное в некоторой области плоскости хОу, определяет дифференциальное уравнение вида y' = f (x, y). Проводя достаточно густую сеть изоклин [линий одинакового наклона П. н. f (x, у) = С, где С — постоянная], можно приближённо построить семейство интегральных кривых как совокупность линий, имеющих в каждой своей точке направление, совпадающее с направлением поля (метод изоклин). На рис. изображено П. н. уравнения у' = х² + у²; окружности— изоклины; жирные линии — интегральные кривые. Изокли́на ДУ 1-ого порядка — линия уровня, на всём протяжении которой наклон, определяемый уравнением, сохраняет постоянное значение.