1. Случайные события и действия над ними.

Элементарное событие – неразложимое на части результат эксперимента.

Случайным событием называется любой исход опыта, который может произойти или не произойти. События обозначаются заглавными буквами A,B,C

Действия над событиями

Суммой (объединением) двух событий А и B (обозначается AUB) называется событие, состоящее из всех элементарных исходов, принадлежащих по крайней мере одному из событий А или B. Событие AUB происходит, если происходит по крайней мере одно из событий А или B.

Приведем пример объединения событий. Пусть два стрелка стреляют в мишень одновременно, и событие А состоит в том, что в мишень попадает 1-й стрелок, а событие B - в том, что в мишень попадает 2-й. Событие AUB означает, что мишень поражена, или, иначе, что в мишень попал хотя бы один из стрелков.

Произведением (пересечением) A∩B событий А и B называется событие, состоящее из всех тех элементарных исходов, которые принадлежат и А и B. На рисунке 3 пересечение событий А и B изображено в виде заштрихованной области. В условиях приведенного выше примера событие A∩B заключается в том, что в мишень попали оба стрелка.

Разностью А\B или А-B событий А и B называется событие, состоящее из всех исходов события А, не благоприятствующих событию B. Диаграмма Венна разности событий А и B изображена на рисунке 4.

В условиях рассмотренного выше примера событие А\B заключается в том, что первый стрелок попал в мишень, а второй промахнулся.

2. Алгебра событий

4. Теорема сложения вероятностей.

сложение вероятностей. Пусть A и В —совместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Док: А+B=AυB=A+B\A; B=B\A+AB; P(A+B)=P(A+B\A)=*P(a)+P(B\A), т.к. P(B\A)=Ø; P(B)=P(B\A+AB)=P(B\A)+P(AB), т.к. (B\A)(AB)=Ø

** P(B)-p(AB)=P(B\A)

подставим ** в * P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(A+B)=P(A)+P(B) A,B-несовместны

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC) совместны

обобщение на случай нескольких событий, а именно: если события A1, A2, ..., An, попарно несовместны, то

5. Условная Вероятность.

Условной вероятностью наступления события A, при условии события B, называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если известно, что в это испытании произошло событие B.

Вывод формулы условной вероятности для случая равновероятных элементарных событий

6. Теорема умножения вероятностей. Независимые события

Событие А называется зависимым от события В если его вероятность меняется в зависимости от того произошло событие В или нет.

Для независимых событий условная и безусловная вероятность совпадают.

Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на вероятность другого вычисленную при условии, что первое событие имело место.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(В/А)

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

Р(А₁;А₂…А_n)=Р(А₁)*Р(А₂/А₁)*…*Р(А_n/А₁,А₂…А_n-1)

Независимые события.

Два события A и B называются независимыми, если P(A/B)=P(A); P(B)=P(B/A) - доказать.

В этом случае вероятность наступления двух событий A и B равна P(AB)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B),

при этом покажем, что P(B/A)=P(B); P(AB)=P(B)P(A)=P(A)P(B/A)

События A₁A₂...A_k называются независимыми между собой, если вероятность их совместного наступления ; . Два независимых события совместны.

* Если бы события были несовместны, то P(A/B)=0 и P(B/A)=0, т.к. они независимы, то P(A/B)=P(A) и P(B/A)=P(B), т.е. утверждение “независимые события несовместны”, т.к. P(A)=0 и P(B)=0, то это утверждение неверно.