33. Показатели качества h(t) (σ%). Приближённая оценка качества сау по вещественной частотной характеристике p(ω). [вопросы 30 и 31] Показатель колебательности м.

Частотной оценкой качества является показатель колебательности M_max – максимальное значение ординаты амплитудной характеристики замкнутой системы (рис. 5.10)

M=|Ф(jω)|. (5.6)

Величина M_max может быть определена по виду АФЧХ разомкнутой цепи данной системы. Покажем это:

.

Отсюда

или , где , .

Следовательно, линии равных значений величины M, нанесенные на плоскость W(jω), будут окружностями со смещающимся центром С и меняющимся радиусом R, как показано на рис. 5.7.

При М=1 окружность вырождается в прямую ( ), параллельную мнимой оси и проходящую через точку (-0,5;j0).

.

Рис. 5.7.

При 0<M<1 окружности располагаются справа от линии, соответствующей M=1, а при М>1 – слева от нее. Если , то окружность вырождается в точку с координатами (-1;j0). Номограммы можно использовать для построения АЧХ замкнутой системы А₃(ω). Для этого на номограмму наносят АФЧХ разомкнутой системы W(jω), далее по точкам пересечения последней с окружностями определяют значение А₃(ω). Максимальное значение показателя колебательности М_max определяется по наименьшей окружности, которой коснется АФЧХ. Значение M=const, соответствующее этой окружности, и будет показателем колебательности М_max.

Если, например, желательно иметь М_max<1,5, то АФЧХ - W(jω) нужно скорректировать так, чтобы она не заходила внутрь круга М=1,5 (рис. 5.7).

Такую запретную область можно перенести на плоскость ЛФЧХ и ЛАЧХ следующим образом. На кривой М=1,5 в каждой точке имеем определенное значение амплитуды А(ω) и фазы φ(ω). Зная 20lgA(ω) (рис. 5.9), для каждого значения можно нанести соответствующую точку φ(ω). На поле логарифмических характеристик образуется кривая М=1,5, очерчивающая запретную область, в которую не должна заходить фазовая частотная характеристика φ(ω). Существуют графики для различных значений показателя колебательности M=const [ 1 ].

Рис.5.8

Рис.5.9 Рис.

Удобство показателя колебательности определяется тем, что запас устойчивости характеризуется одним числом, имеющим для сравнительно широкого класса систем регулирования сравнительно узкие пределы (M=1,1÷1,5).

Для оценки быстродействия по АЧХ замкнутой системы используются следующие величины (рис. 5.10):

Рис. 5.10. Зависимость показателя колебательности от частоты

• ω_рез – резонансная частота, соответствующая М_max;

• ω₀ – частота, соответствующая полосе пропускания замкнутой системы и определяемая из условия А₃(ω₀)=0,707.

• ω_ср – частота среза, соответствующая условию А₃(ω_ср)=1; при определении быстродействия по ЧПФ - W(jω) разомкнутой системы может использоваться частота среза ω_ср, определяемая по ЛАЧХ, когда 20lgA(ω)=0; частота среза ω_ср во многих случаях близка к резонансной частоте системы ω_р;

• ω_экв – эквивалентная полоса пропускания замкнутой системы, определяемая по выражению

Эквивалентная полоса пропускания представляет собой основание прямоугольника (рис. 5.10), высота которого равна единице, а площадь равна площади под кривой квадратов модуля Ф(jω). Понятие эквивалентной полосы пропускания тесно связано с вопросом пропускания системой помех.

34. Коэффициенты ошибок. [+ДОПОЛНИТЕЛЬНО ВОПРОС 32]

4. Установившаяся ошибка при произвольном воздействии (коэффициенты ошибок).

В общем случае изображение ошибки воспроизведения задающего воздействия выражается формулой

. (5.20)

Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд по возрастающим степеням комплексной величины S (ряд Тейлора). Функция , как правило, дробно-рациональная.

. (5.21)

Коэффициенты С₀, С₁, С₂, … называют коэффициентами ошибок. Они определяются по общему правилу разложения функции в ряд Тейлора:

. (5.22)

Поскольку функция дробно-рациональная, коэффициенты ошибок можно получить простым делением многочлена-числителя на многочлен-знаменатель этой функции по известному алгебраическому правилу.

Перейдем в формуле (5.21) к оригиналам, получим формулу для установившейся ошибки

. (5.23)

Коэффициенты С₀ соответствует статической, а С₁ – скоростной ошибкам. Следует отметить, что увеличение коэффициента усиления К разомкнутой цепи влечет за собой уменьшение всех видов установившихся ошибок замкнутой САУ.

Вычисление установившихся ошибок по приведенным формулам имеет практический смысл при достаточно медленном изменении внешнего воздействия. Иначе эта ошибка не будет реальной из-за наличия значительной переходной составляющей процесса.