3.4. Частотные характеристики систем автоматического управления

При исследовании и проектирования автоматических систем обычно используют амплитудно-фазовые (АФЧХ) и логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) разомкнутых одноконтурных систем. Их передаточные функции W(s) легко могут буть преобразованы к виду

,

где W_i(s) – передаточные функции элементарных звеньев. В этом случае модули и аргументы частотных передаточных функций системы и звеньев

, , ,

связаны между собой соотношениями

, (3.60)

. (3.61)

Вещественные и мнимые частотные функции системы определяются равенствами

. (3.62)

Пользуясь соотношениями (3.60-3.62), можно построить АФЧХ – W(j ).

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) из (3.60) записывается в виде:

[дб] (3.63)

3.4.2. Частотные характеристики замкнутой системы. Номограммы для замыкания системы

Для анализа и синтеза САР (в частности, многоконтурных) может понадобится нахождение ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой системы по известным ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.

АФЧХ замкнутой системы в соответствии с главной передаточной функцией (3.49) при единичной обратной связи имеет вид:

Ф . (3.64)

Она может быть представлена в виде

Ф , (3.65)

где P() и Q() называются вещественной и мнимой частотными характеристиками замкнутой системы.

Представив исходную АФЧХ разомкнутой цепиW(j) в виде

(3.66)

и подставив ее в формулу (3.65), найдем

. (3.67)

Линии P=const и Q=const оказываются окружностями на плоскости (U,V). На основании этого строится круговая номограмма. Наложив на поле этой номограммы заданную АФЧХ разомкнутой цепи W(j), построенную в координатах U() и V(), в точках пересечения ее с окружностями P=const и Q=const, получим значения вещественной P() и мнимой Q() частотных характеристик замкнутой системы [ 2 ].

Номограммы применимы для систем, имеющих единичную обратную связь. Если система имеет неединичную обратную связь, то передаточная функция системы в замкнутом состоянии имеет вид (см. рис. 3.20)

Ф . (3.68)

Рис. 3.20. Схема системы с неединичной обратной связью

Для применения номограмм или построения ЛАЧХ замкнутой системы в этом случае следует представить передаточную функцию Ф(s) следующим образом:

Ф . (3.69)

Выражение в квадратных скобках дает возможность воспользоваться номограммой из [ 2 ] и найти ЛАЧХ, соответствующую этому выражению. Из полученной ЛАЧХ следует вычесть ЛАЧХ, соответствующую передаточной функции Z(s).

В результате получается ЛАЧХ замкнутой системы с неединичной обратной связью:

. (3.70)

При построении ЛАЧХ можно воспользоваться следующими соотношениями:

Когда , ; (3.71)

если , . (3.72)

Приведем пример построения ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой и замкнутой САУ.

Задана структурная схема САУ (рис. 3.21)

Рис. 3.21. Структурная схема САУ

Запишем соответствующие соотношения для построения:

Определяем асимптоты ЛАЧХ замкнутой САУ:

а) когда , ;

б) когда ,

. (3.73)

Определим сопрягающие частоты ;

и отметим их на графике (рис. 3.22).

Строим асимптотические ЛАЧХ. Строим разомкнутой цепи, для этого через точку ( =1, 20lg1000) проводим низкочастотную асимптоту с нулевым наклоном до первой сопрягающей частоты ₂ и т.д.(см рис. 3.22). Далее таким же образом строим прямой цепи. Проверяем условия а) и б) (3.73) и строим ЛАЧХ замкнутой САУ. ЛФЧХ замкнутой САУ строится по соответствующей ЛАЧХ.

Рис. 3.22. Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой САУ (к примеру рис. 3.21)

4. Перенос узлов и сумматоров.

Для удобства расчетов автоматических систем бывает необходимо преобразовать многоконтурную структурную схему к одноконтурной. Замкнутую структурную схему системы называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой-либо точке получается цепочка из последовательно соединенных звеньев или цепь, не содержащая параллельных и обратных связей. Например, это оказывается удобным для построения логарифмических частотных характеристик (ЛАЧХ и ЛФЧХ).

При преобразовании структурных схем возникает необходимость переноса и перестановки узлов и сумматоров. Приведем основные правила:

5. Перенос узла с выхода на вход звена:

6. Перенос узла с входа на выход звена:

7. Перенос сумматора с выхода на вход звена:

8. Перенос сумматора с входа на выход звена: