Определение статистических параметров вариационного стокового ряда. Построение теоретической кривой обеспеченности годового стока
Метод наибольшего правдоподобия.
Применяется при любой изменчивости стока. Значения годового расхода воды (Qi) располагаем в убывающем порядке, и определяем эмпирическую ежегодную вероятность превышения:
,
где: m – порядковый номер членов ряда соответствующей гидрологической характеристики, расположенной в убывающем порядке;
n – общее число членов ряда.
Чем больше вероятность превышения, тем меньше значение гидрометеорологической характеристики и наоборот.
Рассчитаем модульные коэффициенты (Ki), а также (lgKi) и произведения (KilgKi).
Результаты расчетов запишем в таблицу 5.
Таблица 5.
Параметры кривой распределения годового расхода воды, рассчитанные методом наибольшего правдоподобия
№ члена ряда |
Год |
Qi м3/с |
Qiубыв. м3/с |
P, % |
Ki |
Lg ki |
ki*lg ki |
1 |
1947 |
0,97 |
4,91 |
2,78 |
2,32 |
0,365 |
0,845 |
2 |
1948 |
1,78 |
4,7 |
5,56 |
2,22 |
0,346 |
0,767 |
3 |
1949 |
0,95 |
3,83 |
8,33 |
1,81 |
0,257 |
0,464 |
4 |
1950 |
1,60 |
3,32 |
11,11 |
1,57 |
0,195 |
0,305 |
5 |
1951 |
1,43 |
3,26 |
13,89 |
1,54 |
0,187 |
0,287 |
6 |
1952 |
0,43 |
2,9 |
16,67 |
1,37 |
0,136 |
0,186 |
7 |
1953 |
3,32 |
2,85 |
19,44 |
1,34 |
0,129 |
0,173 |
8 |
1954 |
0,84 |
2,68 |
22,22 |
1,26 |
0,102 |
0,129 |
9 |
1955 |
2,47 |
2,59 |
25,0 |
1,22 |
0,087 |
0,106 |
10 |
1956 |
1,60 |
2,56 |
27,78 |
1,21 |
0,082 |
0,099 |
11 |
1957 |
2,12 |
2,51 |
30,56 |
1,18 |
0,073 |
0,087 |
12 |
1958 |
4,91 |
2,47 |
33,33 |
1,17 |
0,066 |
0,077 |
13 |
1959 |
2,40 |
2,4 |
36,11 |
1,13 |
0,054 |
0,061 |
14 |
1960 |
0,39 |
2,37 |
38,89 |
1,12 |
0,048 |
0,054 |
15 |
1961 |
1,03 |
2,31 |
41,67 |
1,09 |
0,037 |
0,041 |
16 |
1962 |
2,68 |
2,24 |
44,44 |
1,06 |
0,024 |
0,025 |
17 |
1963 |
2,24 |
2,13 |
47,22 |
1,00 |
0,002 |
0,002 |
18 |
1964 |
1,21 |
2,12 |
50 |
1,00 |
0,000 |
0,000 |
19 |
1965 |
1,48 |
1,94 |
52,78 |
0,92 |
-0,039 |
-0,035 |
20 |
1966 |
2,90 |
1,79 |
55,56 |
0,84 |
-0,073 |
-0,062 |
21 |
1967 |
2,85 |
1,78 |
58,33 |
0,84 |
-0,076 |
-0,064 |
22 |
1968 |
2,37 |
1,65 |
61,11 |
0,78 |
-0,109 |
-0,085 |
23 |
1969 |
3,26 |
1,64 |
63,89 |
0,77 |
-0,111 |
-0,086 |
24 |
1970 |
4,70 |
1,6 |
66,67 |
0,75 |
-0,122 |
-0,092 |
25 |
1971 |
3,83 |
1,6 |
69,44 |
0,75 |
-0,122 |
-0,092 |
26 |
1972 |
2,13 |
1,48 |
72,22 |
0,70 |
-0,156 |
-0,109 |
27 |
1973 |
1,64 |
1,43 |
75 |
0,67 |
-0,171 |
-0,115 |
28 |
1974 |
2,31 |
1,4 |
77,78 |
0,66 |
-0,180 |
-0,119 |
29 |
1975 |
1,79 |
1,21 |
80,56 |
0,57 |
-0,244 |
-0,139 |
30 |
1976 |
1,40 |
1,03 |
83,33 |
0,49 |
-0,313 |
-0,152 |
31 |
1977 |
1,65 |
0,97 |
86,11 |
0,46 |
-0,340 |
-0,155 |
32 |
1978 |
1,94 |
0,95 |
88,89 |
0,45 |
-0,349 |
-0,156 |
33 |
1979 |
2,59 |
0,84 |
91,667 |
0,40 |
-0,402 |
-0,159 |
34 |
1980 |
2,56 |
0,43 |
94,44 |
0,20 |
-0,693 |
-0,141 |
35 |
1981 |
2,51 |
0,39 |
97,22 |
0,18 |
-0,735 |
-0,135 |
Сумма |
|
74,2 |
|
|
35,04 |
-2,05 |
1,810 |
Среднее |
|
2,12 |
|
|
1 |
-0,058 |
0,052 |
По данным таблицы на клетчатку вероятности наносим эмпирические точки (графы 4 и 5) и строим сглаженную эмпирическую кривую обеспеченности.
Вычисляем статистики 2 и 3:
По специальным номограммам [2], в соответствии с вычисленными статистиками 2 и 3 определяем коэффициент вариации Cv = 0,50 , отношение Cs/Cv = 1,5. Далее по этим параметрам и = 2,12 м /с вычисляем ординаты кривой трехпараметрического гамма- распределения и заносим в таблицу 6.
Таблица 6.
Ординаты аналитической кривой трехпараметрического
гамма-распределения
P,% |
0,01 |
0,1 |
1 |
5 |
10 |
25 |
50 |
75 |
95 |
99 |
99,9 |
Кр |
3,55 |
3,02 |
2,42 |
1,92 |
1,68 |
1,30 |
0,934 |
0,63 |
0,305 |
0,16 |
0,066 |
Qр, м3/с |
7,53 |
6,4 |
5,13 |
4,07 |
3,56 |
2,76 |
1,98 |
1,34 |
0,65 |
0,34 |
0,14 |
При попадании точки пересечения значений 2 и 3 вне номограммы, используют лишь значение (2), принудительно опускается это значение на кривую Cs = 3Cv и на пересечении находится значение Cv.
По данным таблицы строим аналитическую кривую распределения, по которой определяются искомые значения расходов воды годового стока заданной вероятности превышения.
Определяем средние квадратические ошибки нормы годового стока и коэффициента вариации без учета автокорреляции:
