- •1. Матрицы. Основные определения.
- •2. Линейные операции над матрицами и их свойства.
- •3. Умножение матриц. Свойства.
- •4. Транспонирование матриц. Свойства.
- •5. Перестановки.
- •6. Понятие определителя.
- •7. Частные случаи определителей.
- •10. Теоремы о разложениях определителя
- •8. Свойства определителей.
- •9. Миноры и алгебраические дополнения.
- •11. Обратная матрица
- •12. Ранг матрицы.
- •13. Линейные системы уравнений. Основные определения. Матричная запись.
- •14. Формулы Крамера
- •15. Метод Гаусса
- •16. Решение произвольных систем уравнений
- •17. Однородные системы уравнений.
- •19. Линейные операции над векторами
- •20. Линейнонезависимые системы векторов.
- •22. Декартова прямоугольная система координат.
- •21. Понятие базиса. Координаты.
- •23. Скалярное произведение двух векторов. Его физический смысл. Геометрические и алгебраические свойства.
- •24. Выражение для скалярного произведения в декартовых координатах.
- •25. Векторное произведение. Его свойства.
- •26. Выражение для векторного произведения в декартовых координатах.
- •27. Смешанное произведение трёх векторов. Его свойства и выражение в декартовых координатах.
- •28. Общее уравнение плоскости и прямой на плоскости.
- •29. Уравнение плоскости и прямой на плоскости в отрезках.
- •30. Нормальное уравнение плоскости и прямой на плоскости.
- •31. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору.
- •32. Канонические уравнения прямой.
- •33. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.
- •34. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.
- •35. Эллипс.
- •36. Гипербола
- •38. Действительные числа, переменные велечины
- •37. Поверхности второго порядка.
- •39. Предел переменной величины.
- •41. Бесконечно малые и бесконечно большие.Теоремы.
- •42.Основные теоремы о пределах
- •43. Первый замечательный предел
- •44. Второй замечательный предел
- •45. Непрерывность ф-ции
- •46. Классификация точек разрыв
- •47. Непрерывность функции на интервале и на отрезке
- •48. Некот свойсва непрерывной ф-ции
- •53. Производная сложной ф-ции.
- •49. Сравнение бесконечно малых
- •50.Производная.
- •51. Геометрический смысл производной
- •52. Основные правила дифференцирования.
- •54. Обратная функция и её дифференцирование.
- •55.Обратные тригонометрические функции и их производные
- •57. Гиперболические ф-ции
- •56. Производные функций от lnx и ex
42.Основные теоремы о пределах
В следующих теоремах мы не будем указывать, к чему → х, предполагая, что либо х→а либо х→∞.
Т-ма1: Предел алгебраич. суммы конечного числа ф-ций = алгеб. сумме их пределов: lim (f1(x) + f2(x) + … + fn(x)) = lim f1(x) + lim f2(x) + … + lim fn(x);
Т-ма 2. Предел произведения конечного числа ф-ций = произведению их пределов:
lim (f1(x) * f2(x) * … *fn(x)) = lim f1(x) * lim f2(x) *… * lim fn(x);
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim C f(x)= C limf(x); C=const.
Предел частного 2-х ф-ций = частному их пределов, если предел знаменателя отличен от 0:
при условии, что lim g(x) ≠0.
Если для 2-х ф-ций выпол-ся нера-во f(x)>g(x), то для их пределов справедливо нера-во: lim f(x) ≥ lim g(x)
Если переменная величина возрастающая и она ограничена, то эта переменная величина имеет предел.
43. Первый замечательный предел
Ф-ция при x→0 имеет предел =1, т.е.
Доказательство:
Рассморим окружность единичного радиуса: OA=OB=1, Sтр. ОBА=1/2 ОА*BD=1/2OA*sinx*OB=1/2sinx
Sтр. ОСА=1/2 ОА*СА = ½ tg x
Sсект.ОВА= 1/2ОА*х=1/2x
Из чертежа видно, что Sтр. OBA<S сект.ОВА<Sтр.ОСА;
1/2 sin x<1/2 х<1/2tgx;
sin x<х<tgx
Разделим все части неравенства на sinx:
Заменяем выражения на обратные
Перейдем к пределу при х→0
Предел переменной заключён м-ду пределами переменных =1. Это возможно если . (док-во для случая x>0)
Однако, т.к. cos(-x)=cosx и => доказанный предел будет справедлив также и для отриц. х.
График ф-ции имеет вид:
При х=0 ф-ция не определена, но пределы в точке 0 слева и справа совпадают. Они = 1.
44. Второй замечательный предел
Т-ма: Предел переменной величины (1+1/n)n при неограниченном возрастании n, сущ. и равен иррациональному числу е≈2,71…
(1)
Определение. Показательную ф-цию ex наз. экспонентой и часто обозначают exp(x)= ex
loge наз. натуральным log и обозн. lnx=logex.
Установим связь между натур. и десят. log. Для этого воспользуемся равенством: пусть y= lgx=log10x – это значит, что x=10у. Прологарифмируем обе части по основанию е.
ln x = ln 10y= y ln10
ln x= 1/M lg x
Можно показ., что предел (1) справедлив не только для послед-тей, но и для ф-ций, а именно
ln x = ln 10* lg x
Число называется модулем перехода от натур. log к десятичным:
lg x = M ln x
Сделаем замену переменных x=1/y, тогда предел примет вид y=1/x при х→∞, y→0; последний предел может быть записан в виде:
45. Непрерывность ф-ции
Пусть ф-ция y=f(x) определена в некот. окрестности точки х0, включая саму точку х0.
Пусть f(x0)=у0, дадим переменной х приращение Δх, тогда переменная y получит приращение
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
Определение. Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной при x=x0 (или в точке x0 ), если она определена в некот. окрестности точки x0, вкл. саму точку x0 и если сущ. предел:
Другими словами, ф-ция непрерывна, если малым приращениям аргумента Δх соответ. малое приращение ф-ции Δу.
Последнее равенство можно переписать в сл. виде:
или
обозначим х= х0+ Δх, тогда при Δх→0 х→х0, тогда имеем:
Т.е., чтобы перейти к пределу непрерыв. ф-ции f(x) при х→х0, достаточно аргумент этой ф-ции заменить на х0. Учитывая очевидное равенство , можем записать:
Последнее равенство означает, что можно переходить к пределу под знаком непрерывной ф-ции, т. е., если ф-ция непрерывна, то знаки ф-ции и предела можно менять местами.
Если для некот. ф-ции не выполняется хотя бы 1 из требований непрерывности в некот. точке х0, то ф-ция наз. разрывной в этой точке, а х0 наз. точкой ее разрыва.
Разрывность ф-ции графически означ. разрыв ее графика.