- •§ 3. Основные свойства определителей 3-го порядка.
- •Тогда, используя свойство 5, а затем 4, будем иметь
- •Свойства обратной матрицы
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Алгоритм
- •[Править] Пример
- •Компланарные векторы
- •Бесконечно малая величина
- •[Править] Бесконечно большая величина
- •Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах
- •Бесконечно малые функции
- •Свойства бесконечно малых функций
- •Бесконечно большие функции
- •Свойства бесконечно больших функций в точке
- •Пределы функции на бесконечности
- •Определения Править
- •Окрестностное определение Править
- •Определения Править
- •Определения
- •[Править] Односторонний предел по Гейне
- •[Править] Односторонний предел по Коши
- •[Править] Односторонний предел как предел вдоль фильтра
- •[Править] Обозначения
- •Построение асимптот при анализе функций
- •Примеры:
- •Точки разрыва
- •Непрерывность функции в точке
- •Свойства непрерывных функций
- •Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции
- •Теоремы о непрерывных функциях
- •Непрерывность обратной функции
- •Непрерывность функций
- •[Править] Доказательство
- •Формулировка
- •[Править] Доказательство для r
- •[Править] Замечания
- •Второй замечательный предел
- •Натуральные логарифмы
- •Свойства Править
- •Дифференцирование сложной функции
- •[Править] Примеры
- •[Править] Свойства
- •[Править] Разложение в степенной ряд
- •Теорема об обратной функции.
- •Теорема (о дифференцировании обратной функции)
- •Примеры
- •Дифференцирование функций заданных параметрически
- •36. Логарифмическое дифференцирование.
- •Правила отыскания производных показательных и логарифмических функций.
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Теорема Ролля
- •Геометрический смысл теоремы Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- •Теорема Коши
Свойства обратной матрицы
, где обозначает определитель.
для любых двух обратимых матриц A и B.
где * T обозначает транспонированную матрицу.
для любого коэффициента .
Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A − 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
7
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
Составим матрицы: A = ; B = ; X = .
Систему уравнений можно записать:
AX = B.
Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B,
т.к. А-1А = Е, то ЕХ = А-1В
Х = А-1В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Пример. Решить систему уравнений:
Х = , B = , A =
Найдем обратную матрицу А-1.
= det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
M11 = = -5; M21 = = 1; M31 = = -1;
M12 = M22 = M32 =
M13 = M23 = M33 =
A-1 = ;
Cделаем проверку:
AA-1 = =E.
Находим матрицу Х.
Х = = А-1В = = .
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
8
Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные[2].
Пример
Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и , соответственно:
Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на :
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.
На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
из третьего;
из второго, подставив полученное
из первого, подставив полученные и .
9
Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана[1].
Алгоритм
Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.
Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.
Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
После повторения этой процедуры n − 1 раз получают верхнюю треугольную матрицу
Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.