Глава I. Электростатика

1. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона.

Электростатика – раздел электродинамики, изучающий поле неподвижных электрических зарядов. Существуют положительные и отрицательные электрические заряды. Точечный заряд – заряженное тело форма и размеры которого несущественны в данной задаче. Эл. заряд любой системы тел состоит из целого числа элементарных зарядов, равных ≈1,6*10^( - 19) Кл Система тел или частиц наз-ся электрически изолированной системой, если между ней и внешними телами нет обмена эл.зарядами (аналог. Тепл. Сист). Закон сохранения эл.заряда: Алгебраическая сумма эл.зарядов тел или частиц, образующих эл-ки изолированную систему не изменяется при любых процессах происходящих в этой системе. Закон Шарля Кулона: сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (универс х-р з-н всем тяготен и з-н квадр расстояний в оптике) Силы взаимодействия равны (По III з-ну Ньютона) и направлены вдоль прямой, соединяющей заряды (Рис); где: коэффициент пропорциональности, ε₀ - электрическая постоянная. Абсолютная электрическая проницаемость вакуума, ε₀= 8,85*10^(-12) Ф/м (Кл²/Нм²). Заряженные тела конечных размеров будем рассматривать, как систему точечных зарядов, тогда силу взаимодействия между такими телами рассчитывают по принципу суперпозиции.

2. Электрическое поле. Напряжённость поля. Принцип суперпозиции полей. Поле бесконечно длинной нити. Взаимодействие между электрическими заряженными частицами или телами осуществляется посредством электрического поля. Основное свойство поля: На всякий другой заряд помещённый в поле действует сила Основной силовой характеристикой эл поля является напряжённость, численно равная силе действующей на единичный положительный заряд в данной т поля. - по опред Е=F/q = Если эл поле создается несколькими точечн зарядами, тогда напряженность эл поля в каждой точке равна геом сумме полей созданных в этой точке каждым зарядом (принцип суперпозиции) Е= Если заряженное тело протяжённое, то необходимо знать как распределены по нему эл заряды. Вводят понятия: линейной плотности заряда τ= - распределении заряда по длине. поверхностной плотности заряда - распределении заряда по поверхности. объёмной плотности заряда - распределении заряда по объему. При непрерывном распределении зарядов результирующее поле находят интегрированным. Электрическое поле изображают с помощью силовых линий, проходящих ч/з единицу поверхности пропорционально напряженности поля в данном месте. ↑ напряж ↑ сил линий. Закон Кулона можно записать: F = q∙E Как только внесли заряд – в поле появляется сила. Единицей измерения напряженности является Вт/м (Н/Кл) Аvgth – в си ед для электричества. Поле называется однородным если в каждой точке напряжённость одинакова E= const Вычислим напряженность эл поля беск нити заряженной с линейной плотностью τ, на расстоянии R от нити Условно перпендик ОА=R, τ. (Рис) Поле нескольких зарядов определим посредством суперпозиции, распред заряд – сумма беск малых точ зарядов. Поэтому выделим на нити бесконечно малый участок нити dl. Тогда заряд будет равным dq dq = τ dl; Необходимо определить какую напряженность создает dq dE’ = Спроецируем на основное направление: {dE = dE’∙cos α {r = R/ cos α α (- π/2, π/2) =const E =

2. Поток вектора напряжённости. Теорема Остроградского-Гаусса в вакууме и её применение к расчёту электрических полей. В произвольном электрическом поле выделим беск-малую площадку dS, к-ю можно считать плоской. (Рис) n- нормаль к поверхности S, dS – скалярная величина. dS = n∙dS Потоком вектора напряженности сквозь поверхность dS называется величина равная: dФ = E∙cos α dS = E_n dS = d Поток вектора напряженности определяет число силовых линий, проходящих, ч/з данную поверхность. Ф = Поток – скалярная величина со знаком («+» и «-») Рассмотрим поле точечного положительного заряда и окружающие его сферические поверхности. Е = En = по определению напряженности. (Рис) Вычислим поток вектора напряженности, ч/з эту поверхность S₂ Ф = ЕS = 4π∙r² = q/ε₀ . Результат остается прежним для концентрических поверхностей S₁ и S₂, для любой замкнутой поверхности, окружающей заряд q. Результат остается справедливым не только для одного заряда. Но и для любого числа зарядов, охватываемых поверхностью S. Окончательно: Ф = = - Т.Остроградского–Гаусса в вакууме : поток вектора напряженности эл поля в вакууме ч/з произвольную замкнутую поверхность, пропорционален алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью. Применение теоремы Остроградского-Гаусса к расчёту электрических полей. 1) Равномерно-заряженная плоскость. (Рис) 2ES = E = 2) Поле двух разноимённо заряженных плоскостей. *- погасят друг друга Е ( ||=|| равны по модулю и противоп по направлению) E_A = 0, E_D = 0 E_C = E = 3) Поле шара заполненного Ф = = = =E =ES = E∙4π∙r² = (Рис) Заземлили большую плоскость E = Выражение остается справедливым для поля, создаваемого уединенной заряженной сферой, когда роль второго электрода играют удаленные заземленные предметы. (Рис) Внутри шара поля нет На пов-ти – максимально, обратно пропорционально падает удаляясь от пов-ти.

2. Работа в электростатическом поле. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности. Потенциалы простейших электрических полей. Подсчитаем элементарную работу сил электростатического поля. Dr – касательная к направлению. Q – полеобразующий заряд. dA = F dr = q∙E∙dr = dA = - бесконечно малая элементарная работа. А₁₂ = = (1/r₁ – 1/r₂) Поскольку результат не зависит от формы пути, а определяется электростатические силы – консервативны. Подсчитаем работу сил поля по перемещению единичного положительного заряда по произвольному замкнутому контуру (Рис) =A_1a2 + A_2b1≡0 =0 Циркуляция вектора напряженности электростатич поля вдоль произвольного замкнутого контура L=0; Разностью потенциалов между т. 1 и 2 называется работа, совершаемая силами поля при перемещении положительного единичного заряда из т 1 в т.2 по произвольному пути. φ₁-φ₂= A=q(φ₁-φ₂) Физический смысл имеет только разность потенциалов между 2-мя точками, когда говорят просто о потенциале точки 2-ю т. Выбирают специально, считая либо потенциал бесконечно удаленной т. =0, либо потенциал Земли. Из A=q(φ₁-φ₂) следует единица измерения потенциала – 1В = 1Дж/Кл (вольт) E - напряжённость – силовая характеристика, φ - - энергетическая характеристика поля. Геометрическое место точек электростатического поля, в к-х значения потенциала одинаковы называются – эквивалентной поверхностью (с одинаковым потенциалом) или эквипотенциалью. (Рис) dl ┴E φ_А – φ_В = =0, т.к. эквипотенциаль φ_А = φ_В . φ_А – φ_В =0, φ_А = φ_В =const Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении эл-го заряда по одной и той же эквипотенциальной пов-ти, равна 0. Рассмотрим 2 близкорасположенные эквипотенциали с потенциалами φ и φ + dφ. (Рис) φ – (φ + dφ)=Edl, - dφ = E∙ cos α∙ dl (dn = cos α∙ dl ) E = - dφ /dn → (Градиент изменения потенциала) E = - grad φ dφ /dn – характеризуют быстроту изменения потенциала в пр-ве. Знак “ – “ показывает, что вектор Е направлен в сторону убывания потенциала. Вычисление потенциала в простейших электрических полях. 1) Поле точечного заряда. Нет физического смысла. Разность потенциалов – часто где-то в бесконечности берут потенциал = 0 φ= = = = φ - потенциал поля точечн заряда. 2) Сферический конденсатор Рассмотрим условн пов-ть радиуса r. Если заземлим внешнюю сферу конденсатора потенциал упадет на ней до 0. (Рис) φ_r – φ_a = = (1/a – 1/r) 3) Плоский конденсатор. (Рис) φ – φ_x = = φ₁ – φ₂ =

5. Потенциал и напряжённость поля диполя. Для потенциала справедлив принцип суперпозиции φ = = Для поля протяженных заряженных тел φ= = , где интегрирование происходит по всем зарядам заряженного тела. Электрическим диполем называют систему из двух равных по величине и противоположных по знаку электрических зарядов +q и –q, расстояние между которыми l мало по сравнению с расстояниями до рассматриваемых точек поля. p_e = q∙l - электрический момент диполя, l – плечо диполя. Пусть l = const, по принципу суперпозиции запишем: φ = (1/r₂ – 1/r₁) = ( l много меньше r₁ и r₂) l<<r1,r2 r1 – r2 l cos α r1∙r2 r² (квадрату средней линии r) φ = , E_r = - = E_α = ½ = (Напряженность поля диполя) E = =

5. Поляризация диэлектриков. Типы диэлектриков. Диэлекриками называются вещества, к-е при обычных условиях практически не проводят эл ток. Если диэлектрик не находятся во внешнем эл поле, то сумма дипольных моментов всех мол-л, содержащихся в любом макроскопически малом объеме диэлектрика = 0 При внесении диэлектрика во внешнее эл поле происходит поляризация диэлектрика , состоящая в том, что в любом макроскопически малом его объеме возникает отличный от нуля суммарный дипольный электрический момент молекул. Диэлектрик, находящийся в таком состоянии, называется поляризованным. В зависимости от строения молекул диэлектрика различают ориентационную, электронную и ионную поляризации. Типы диэлектриков. 1) Неполярные диэлектрики, это диэлектрики, в к-х при отсутствии внешн эл поля дипольные моменты мол-л = 0, в присутствии внешнего эл поля дипольные моменты пропорциональны напряженности поля: p_e = α∙ε₀ ∙E , α=4πR³ – поляризуемость атома. (Н-р, Н₂, N_2, О₂,CCl₄, бензол и др) Такие диполи называют упругими, а поляризацию деформированной (электронной). 2) Полярные диэлектрики - в таких диэлектриках дип момент не равен 0, даже при Е=0. Диполи расположены хаотично, поэтому в целом диэлектрик дипольным моментом не обладает. (Н-р, Н₂О, поливинилхлорид, спирты, пластмасса и др) Во внешнем поле на диполь действует вращающий момент (Рис) (F=qE) M = 2F sinα = q∙E∙l∙sinα = p_e ∙ E ∙ sin α. M = [p_e, E] – вект произвед. Если диполь находится в неоднородном поле, то он будет втягиваться в область сильного поля – ориентационная поляризация. 3) Ионные диэлектрики, - кристаллы, в к-х происходит смещение ионов разного знака в разные стороны. Электрическим моментом обладает кристалл в целом.

7. Вектор поляризации и его связь с поверхностной плотностью поляризационных зарядов. Напряжённость поля внутри диэлектрика. Изотропные диэлектрики. Вектором поляризации или поляризованностью диэлектрика наз-ся электрический момент единицы объема диэлектрика. Р = Для однородного диэлектрика с одинаковым смещением l поляризованность одинакова во всем объеме. (рис) P = = = σ’ = P cosα = Pn Пов-я плотность поляризационных зарядов = нормальной составляющей векторов поляризации в данной т. поверхности. Напряженность Эл-го поля внутри диэлектрика. Изотропные диэлектрики. Изотропы – св-ва не зависят от направления прохождения. Анизотропы – зависят. (Рис) Диэлектрик поляризуется: E₀- поле внешн конденсатора, E ‘ - внутреннее поля пластины E - суммарное поле. E₀ - напряженность поля, создаваемого в вакууме свободными зарядами, сидящими на металлических пластинах (конденс) E ‘- напряженность поля, создаваемого зарядами, находящимися на поверхности диэлектрика. E=E₀+E’ E = E₀ – E’ = – = Рассмотрим изотропные диэлектрики, эл-е св-ва к-х не зависят от направления вектора Е. P=ε₀∙ǽ∙E ǽ - диэлектрическая восприимчивость вещества (ǽ -каппа) (Рис) Заряженное тело занимает полость радиусом а. σ’ = Pn = ε₀∙ǽ∙E(a) Подсчитаем величину эффективного заряда. Эффективный заряд, создающий поле q+q’ = q – σ ‘ ∙4π∙a² = q - 4π∙a²∙E(a) ∙ ε₀∙ǽ , тогда для напряженности Е(r) E(r) = Из-за сферической или радиальной симметрии отношение E(r)/E(a) = a² / r² E(r) = - E(r)∙ǽ E= (1+ ǽ)=ε ε- относительная диэлектрическая проницаемость вещества E= Физическая причина уменьшения напряженности поля в диэлектрике в ε раз по сравнению с полем в вакууме – заключается в появлении поляризационных зарядов.

7. Теорема Остроградского-Гаусса для диэлектриков. Вектор электрического смещения. В вакууме мы получили зависимость: =

В диэлектриках необходимо учесть вклад поляризационных зарядов, тогда: = q’ = = = При этом |q’|<|q| Из посл 2х ф-л следует: = q После преобразований получим: = q Введем физическую величину вектор электрического смещения (или вектор электрической индукции) D = ε₀∙E +P Из предыдущ ф-лы следует что источниками поля вектора Д служат только свободные эл-е заряды, т.е. линии D могут начинаться только на «+» свободных зарядах и заканчиваться на «-» (отриц) св. зарядах. По этой причине вектором D можно пользоваться для описания полей в неоднородных диэлектриках. В этом заключается осн. смысл введения в-ра D. Для потока вектора смещения можно записать: =q – Т.О-Г. для диэл-ков: Поток вектора смещения ч/з замкнутую пов-ть = алгебр сумме зарядов, заключённых внутри этой поверхности. Связь между в-м смещения и напряженности. Для изотропных диэлектриков: D = ε₀∙E +P = ε₀∙E + ε₀∙ǽ∙E = ε₀(1+ǽ)E = ε₀∙ε∙E D = ε₀∙ε∙E

9. Условия на границе раздела диэлектриков. Вычисление напряжённости поля в диэлектрике. Пусть ось х лежит в 1-й плоскости с нормалью к границе раздела и векторами Е₁ и Е₂. Выделим в этой плоскости замкнутый прямоугольный контур KLMN, длина которого (а), высота (в) – исчезающее мала. (рис) Рассчитаем циркуляцию в-ра Е по такому контуру. Такая циркуляция =0. Е_1ta – E_2ta = 0 E_1t = E_2t Из D = ε₀∙ε∙E следует: D_1t / ε₀ε₁ = D_2t / ε₀ε₂ D_1t / D_2t = ε₁ / ε₂ На границе раздела тангенциальная составляющая вектора напряженности непрерывна, а танг сост в-ра смещения терпит разрыв (рис) Применим к такой поверхности Т.О-Г для диэлектриков D1nS – D2nS=0 D_1n = D_2n ε₀ε₁E_1n = ε₀ε₂E_2n E_1n / E_2n = ε₂ / ε₁ Соотношения (Ж шрифт) – есть граничные условия для эл-го поля диэлектриков. Рассмотрим преломление линий вектора смещения на границе раздела 2-х диэлектриков ε₁ > ε₂ (рис) tg α₁ = E_1t / E_1n tg α₂ = E_2t / E_2n tg α₁ / tg α₂ = E_1t E_2n / E_1n E_2t = D_2n ε₀ε₁ / ε₀ε₂ D_1n = ε₁ / ε₂. Вычисление напряженности поля в диэлектрике. Сначала рассчитывают значение вектора D во всех точках пространства, затем находят соответствующие им значения вектора E E = D / ε₀ε Применим Т.О-Г для диэлектрика Пусть пр-во между двумя бесконечными металлическими пластинами заряженными разноименно наполовину заполнено изотропным диэлектриком. Остальное – воздух. В каждом диэлектрике поле является однородным. (рис) Применим к пов-ти Т.О-Г. (для диэл-ов) D∙S = σ∙S D = σ E₁ = D / εε₀ = σ / ε₀ε E₂ = D / ε₀ = σ / ε₀ Посчитаем разность потенциалов между пластинами φ₁ – φ₂ = = + = = φ₁ – φ₂ = Вычислим плотность связанных зарядов на поверхности диэлектрика σ’ = P_n = ε₀(ε - 1)∙E₁ = ε₀(ε – 1)∙σ /ε₀ε = σ’ = Если ε=1, то заряда индуцированного σ’ не будет. Подобным же образом рассматриваются Эл-е поля в изотропных диэлектриках при иной геометрии.

9. Проводники во внешнем электрическом поле. Электроемкость уединённого проводника. Внесем проводник во внешнее электростатическое поле E₀. Тогда свободные носители зарядов в проводнике приходят в движение (по закону Кулона) На одном торце проводника возникают отрицательные зарядs, а на другом – положительные (скапливаются по действием поля) (рис) Возникает электрическое поле. У поверхности проводника силовые линии перпендик поверхности. Внутри проводника поле отсутствует, что используется в электростатической защите. Полая поверхность. (Рис) То что заряды, помещенные на проводник переходят на его наружную поверхность называется Эффектом Фарадея. Это используется в генераторах Вандер-Графа. (рис) Заряженная сфера, два блока А и В При этом потенциал шара относительно земли достигает нескольких МВольт. Бесконечная лента L, сделанная из шелка или прорезиненной ткани, движется на двух шкивах А и В, расположенных друг над другом. Верхний шкив помещен внутри полого, изолированного от земли шара. Лента заряжается в рез-те стекания на нее электрических зарядов с остриев D, соединенных с одним из полюсов электростатической машины Э. Через острия К этот заряд полностью передается шару. Заряд и потенциал шара увеличиваются до тех пор, пока заряд, уходящий с наружной пов-ти шара из-за возникновения электрического разряда в окружающем шар воздухе, не станет равным заряду, поступающему за тоже время ч/з острия К. Имея два таких генератора с шарами диаметром в неск метров и заряжая эти шары разноименно, можно получить разность потенциалов между ними порядка неск мегавольт. Электроемкость уединённого проводника. Известно. Что потенциал уединенного проводника пропорционален сообщенному ему заряду. φ~q Причем коэффициентом пропорциональности служит величина 1/С (С - электрическая емкость) φ = 1/C *q C = q/φ Для емкости уединенного шара используя предыдущие формулы можно получить C = 4πε₀∙ε∙R

для возд ε=1 Единица измерения емкости – Фарад (Ф) Шар эл емкость к-го 1Ф имел бы r = 9*10⁹м ≈1500 R_з

11. Взаимная ёмкость двух проводников. Плоский и сферический конденсаторы. Ёмкость проводника можно значительно увеличить, приблизив к нему другой проводник. Такая система 2-х проводников называется Конденсатором. А сами проводники – обкладками конденсатора. Такие конденсаторы состоят из 2-х металлических обкладок, расстояние между которыми мало. Тогда сообщенные проводникам заряды находятся внутри проводников (между проводниками) и созданное ими поле основательно защищено. Заряды обкладок при этом одинаковы по величине и противоположны по знаку (простой конденсатор). C = q/(φ₁ - φ₂) Уточним, что понимают под зарядами обкладок конденсатора (рис) Поле между пластинами такого конденсатора создается только зарядами q₂ и q₃ , они противоположны по знаку q₂ = - q₃ в силу знака сохранения эл заряда: q₁+q₂ = Q₁ q₃+ q₄ = Q₂ Очевидно также, что заряды q₁ и q₄ не должны создавать поле между пластинками т.е. q₁ = q₄ Из (Ж шрифт) следует q₁ = q₄ = (Q₁+Q₂) / 2 q₂ = (Q₁ –Q₂)/2 q₃ = – (Q₁ – Q₂) /2 При этом поле внутри каждой из пластинок =0 При q₁ = q₄ = 0 → Q₁ = – Q₂ Примеры вычисления ёмкостей. Плоский и сферический конденсаторы. 1. Плоский конденсатор состоит из 2-х параллельных металлических пластин площадью S каждая (рис) Ранее получено: φ₁ – φ₂ = φ₁ – φ₂ = C = 2. Сферический конденсатор состоит из 2-х концентрических металлических обкладок сферической формы, радиусы которых а, b. (Рис) φ_a – φ_b = (1/a – 1/b) C = = C = Плоский конденсатор предельный случай сферического, когда а и в →∞ b-a=d, причем; d<<a d<<b Тогда: C ≈ ≈ Если расстояние между обкладками достаточно мало, то независимо от их формы емкость рассчитывается по формуле C =

11. Энергия заряженного проводника и конденсатора. Энергия электрического поля. Объёмная плотность энергии. Сообщим уединенному проводнику заряд q. Тогда его потенциал φ=q/C Станем увеличивать заряд этого проводника порциями по dq. Тогда для этого необходимо совершить работу dA = dq ∙ φ = q/C *dq Работа до конечной зарядки проводника от 0 до q A = = Очевидно, что заряженный проводник будет обладать при этом энергией W_C = = - эн-я заряженного проводника. Аналогично можно получить соотв выражение для конденсатора W_C = = Энергия конденсатора сосредоточена в его электрическом поле. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии. Энергия заряженного конденсатора есть энергия поля. Рассмотрим плоский конденсатор С = - емкость, φ1 – φ2 = = E d W_e = = = ½ = ½ = ½ , т.е. W_e пропорционально V(между обкладками) ω_e = ½ ω_e – объёмная плотность энергии электростатического поля. В том случае, когда поле неоднородно выражение для ω_e – сохранит свою силу. dW_e = ω_e dV We = Таким образом объективные св-ва электростатического поля определяются напряжённостью Е, потенциалом φ, плотностью энергии ω_e , а так же массой (электростат поля) Масса и энергия – есть меры объективной реальности (материи и движения) m =W_e/C² , С – скорость света, т.е. поле материально, ему присущи масса и энергия.