Линейная алгебра.

Определители (детерминант)

Назовем определителем число, записанное в виде квадратной таблицы чисел.

Ч исло элементов в строке (колонке) называют порядком определителя.

Для определителя справедливы 2 правила:

1. Это правило эквивалентных преобразований.

2. Правило раскрытия по строке (колонке).

1. Правило эквивалентных преобразований:

Если в определителе какую-то строку умножить на число не равное нулю (столбец) прибавить к другой строке (столбцу), то мы получим определитель эквивалентный данному.

П ример:

2. Правило раскрытия по строке:

Каждый определитель порядка n может быть представлен в виде суммы произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

А лгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij назовем произведение (-1)^i+jM_ij, где M- минор.

Минором, построенным по элементу a_ij , называется определитель порядка (n-1), полученный из исходного путем вычеркивания i строки и j столбца.

П ример:

M ₁₁=|1|

Если в каком-то определителе есть строка (колонка), состоящая из нулей, то определитель равен нулю.

Определитель 2-го порядка равен разности произведений к элементу главной диагонали (СЗ, ЮВ) и элементов побочной диагонали (СВ, ЮЗ)

П римеры:

Матрицы

Матрицой называют прямоугольную таблицу чисел.

А лгебра матриц

Сложение:

Умножение:

Правило согласованности размерности матриц при умножении:

Количество столбцов 1-го сомножителя равняется количеству строк 2-го.

Чтобы получить элемент произведения двух матриц _ij мы должны умножить i строчку 1-го сомножителя на j столбец 2-го и результаты сложить.

П ример:

Е - единичная матрица

Э то квадратная матрица, у которой по главной диагонали стоят единицы, а остальные нули.

 _{1 1}=1+1+1=3

₁₂=3

₂₁=0

₂₂=0

Для всякой квадратной матрицы можно посчитать определитель.

Е сли главный определитель квадратной матрицы ноль, то матрица называется выражденной.

Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент этой матрицы умножить на это число.

Вычисление обратной матрицы

Доказательство:

A ₁₁=(-1)¹⁺¹*3=3

A₁₂=-2

A₂₁=-1

A₂₂=1

Ранг матрицы

Р анг (rang) А- размерность наибольшего отличного от нуля определителя, содержащегося в матрице А.

Min (m,n)- максимально возможный порядок определителя.

П ример:

Системы линейных уравнений

Это система, у которой m уравнений и n неизвестных

О бщий вид системы линейных уравнений

Матричная запись системы (10)

Д опущения:

А- квадратная, невырожденная

А^-1Ax=A^-1B x=A^-1B (11) (решение системы 10)

1. Если количество неизвестных больше числа уравнений, то последнее (лишнее неизвестное) переходит в разряд параметров и переносится в правую часть.

2. Если основная матрица вырожденная, то отбрасывается последнее уравнение до тех пор, пока она не станет невырожденной.

Теорема Кронекера- Капелли:

С истема (10) имеет решения тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы (rang A= rang A), если при этом эти ранги совпадают с числом неизвестных n, то решение единственно. Если меньше n, то решений бесконечно много.

Векторная алгебра

Y

a₂

^a

^

0 a₁ X

Умножение вектора на число:

С ложение и вычитание:

Умножение векторов^:

а) Скалярное произведение:

к оммутативно

б) Векторное произведение (3-х мерное):

i ,j,k- орты осей координат

С войство антикоммутативности

Геометрический определитель второго порядка равен длине векторного произведения векторов, составленных из строк данного определителя.

Геометрическое смешенное произведение:

О но равно объему параллелепипеда, построенного на исходных векторах.