Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математическое моделирование.docx
Скачиваний:
5
Добавлен:
14.04.2019
Размер:
70.81 Кб
Скачать

Теорема двойственности Первая теорема двойственности

Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение. Причём экстремальные значения целевых функций совпадают Z(X*)=f(y*)

X1

Ym+1

X2

Ym+2

X3

Ym+J

X4

Ym+n

Xn+1

Y1

Xn+2

Y2

Xn+i

Yi

Xn+m

Ym

Min

Y*i=-X*n+i

Экономический смысл допустим, если задача определения оптимального плана максимизирующего выпуск продукции разрешимо, то разрешимо и задача определения оценок ресурсов (себестоимость равна цене)

Спрос

П1

П2

П3

П4

Об. Рес-ов

I

2

1

0.5

4

2400

II

1

5

3

0

1200

III

3

0

5

1

3000

Цена

75

30

60

120

75X1+30X2+60X3+120X4max

2X1+X2+0.5X3+4X4<=2400|X5

X1+5X2+3X3<=1200|X1

3X1+5X3+X4<=3000|X2

БП

С5

А0

Х1

Х2

Х3

Х4

X5

Х6

X7

X5

0

2400

75

30

60

120

0

0

0

2

1

0.5

4

1

0

0

X6

0

1200

1

5

3

0

0

0

0

X7

0

3000

3

0

5

1

0

0

1

F

0

-75

-30

-60

-120

0

0

0

БП

С5

А0

Х1

Х2

Х3

Х4

X5

Х6

X7

X4

120

600

1/2

1/4

1/8

1

1/4

0

0

1200

1

5

3

0

0

1

0

2400

2.5

-1/4

4.85

0

-1/4

0

1

0

0

БП

С5

А0

Х1

Х2

Х3

Х4

X5

Х6

X7

X4

120

6000/13

X3

60

4800/13

X1

75

1200/13

90000

0

75

0

0

30

15

0

X*=(1200/13;0;4800/13;600013)

Y*=(30;15;0)

В М пунктах отправления А1..Ам сосредоточено определённое количество груза соответственно а1..ам имеющийся груз необходимо доставить потребителям- В1..Вн, спрос которых выражается величиной в1..вн. известна стоимость Сij- перевозки единицы груза из I пункта отправления в j пункт назначения требуется составить план перевозок, который полностью удовлетворяет спрос потребителей в грузе и при этом суммарные транспортные издержки минимизируются.

Поставщики

В1

Потребители В2

Вн

Запасы груза

Ai

А1

С11

Х11

С12

Х12

С1н

Х1н

а1

А2

С21

Х21

С22

Х22

С2н

Х2н

а2

Ам

См1

Хм1

См2

Хм2

Смн

Хмн

ам

Потребность вj

в1

в2

вн

Сумма (Хij)=аi

Сумма(Хij)=вj

--------------------------1

Хij>=0 (i=1,m;j=1,n)

--------------------------2

F= сумма(сумма(Cij*xij))

--------------------------3

Дана система ограничений 1 при условии 2 или линейная функция 3. Требуется среди множества решений системы надо найти такое неотрицательное решение, при котором линейная функция 3 принимает минимальное значение. План перевозок называется допустимым, если он удовлетворяет условиям 1 и 2. Допустимый план перевозок, доставляющий минимум целевой функции называется оптимальным.

Теорема 1:

Для того чтобы транспортная задача имела допустимые планы необходимо и достаточно выполнения равенства- сумма(ai)= сумма(вj), если сумма(ai)>/< сумма(вj), то модель называется открытой. Для разрешимости её необходимо преобразовать в закрытую. Для этого вводим либо фиктивного поставщика, либо фиктивного потребителя. Тариф при этом равен нулю и все тарифы одинаковы- целевая функция не меняется.

Теорема 2:

О ранге матрицы.

Ранг матрицы в транспортной задачи на единицу меньше числа уравнений- Z=m+n-1 (Z-число занятых клеток ). Если у нас сумма(ai)>сумма(вj),то необходимо ввести n+1 пункт назначения., т.е. в матрице задачи предусматривается дополнительный столбец и спрос фиктивного потребителя полагается равным Bn+1=сумма(aj)-сумма(вj). Если наоборот, то вводится фиктивный поставщик (am+1=сумма(вj)-сумма(ai))

Построение исходного опорного плана: