- •Введение
- •Классификация моделей
- •Классификация математических моделей
- •1)Описание задачи
- •2)Определение целей моделирования
- •3)Анализ объекта или процесса
- •Линейное программирование Постановка задачи линейного программирования
- •Теорема двойственности Первая теорема двойственности
- •Правило северо-западного угла:
- •Остовное дерево
Теорема двойственности Первая теорема двойственности
Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение. Причём экстремальные значения целевых функций совпадают Z(X*)=f(y*)
X1 |
Ym+1 |
X2 |
Ym+2 |
X3 |
Ym+J |
X4 |
Ym+n |
Xn+1 |
Y1 |
Xn+2 |
Y2 |
Xn+i |
Yi |
Xn+m |
Ym |
Min
Y*i=-X*n+i
Экономический смысл допустим, если задача определения оптимального плана максимизирующего выпуск продукции разрешимо, то разрешимо и задача определения оценок ресурсов (себестоимость равна цене)
Спрос |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
Об. Рес-ов |
I |
2 |
1 |
0.5 |
4 |
2400 |
II |
1 |
5 |
3 |
0 |
1200 |
III |
3 |
0 |
5 |
1 |
3000 |
Цена |
75 |
30 |
60 |
120 |
|
75X1+30X2+60X3+120X4max
2X1+X2+0.5X3+4X4<=2400|X5
X1+5X2+3X3<=1200|X1
3X1+5X3+X4<=3000|X2
БП |
С5 |
А0 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
X5 |
Х6 |
X7 |
X5 |
0 |
2400 |
75 |
30 |
60 |
120 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0.5 |
4 |
1 |
0 |
0 |
|||
X6 |
0 |
1200 |
1 |
5 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
X7 |
0 |
3000 |
3 |
0 |
5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
F |
|
0 |
-75 |
-30 |
-60 |
-120 |
0 |
0 |
0 |
БП |
С5 |
А0 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
X5 |
Х6 |
X7 |
X4 |
120 |
600 |
1/2 |
1/4 |
1/8 |
1 |
1/4 |
0 |
0 |
|
|
1200 |
1 |
5 |
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
2400 |
2.5 |
-1/4 |
4.85 |
0 |
-1/4 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
БП |
С5 |
А0 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
X5 |
Х6 |
X7 |
X4 |
120 |
6000/13 |
|
|
|
|
|
|
|
X3 |
60 |
4800/13 |
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
75 |
1200/13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
75 |
0 |
0 |
30 |
15 |
0 |
X*=(1200/13;0;4800/13;600013)
Y*=(30;15;0)
В М пунктах отправления А1..Ам сосредоточено определённое количество груза соответственно а1..ам имеющийся груз необходимо доставить потребителям- В1..Вн, спрос которых выражается величиной в1..вн. известна стоимость Сij- перевозки единицы груза из I пункта отправления в j пункт назначения требуется составить план перевозок, который полностью удовлетворяет спрос потребителей в грузе и при этом суммарные транспортные издержки минимизируются.
Поставщики |
В1 |
Потребители В2 |
… |
Вн |
Запасы груза Ai |
А1 |
С11 Х11 |
С12 Х12 |
… |
С1н Х1н |
а1 |
А2 |
С21 Х21 |
С22 Х22 |
… |
С2н Х2н |
а2 |
Ам |
См1 Хм1 |
См2 Хм2 |
… |
Смн Хмн |
ам |
Потребность вj |
в1 |
в2 |
… |
вн |
|
Сумма (Хij)=аi
Сумма(Хij)=вj
--------------------------1
Хij>=0 (i=1,m;j=1,n)
--------------------------2
F= сумма(сумма(Cij*xij))
--------------------------3
Дана система ограничений 1 при условии 2 или линейная функция 3. Требуется среди множества решений системы надо найти такое неотрицательное решение, при котором линейная функция 3 принимает минимальное значение. План перевозок называется допустимым, если он удовлетворяет условиям 1 и 2. Допустимый план перевозок, доставляющий минимум целевой функции называется оптимальным.
Теорема 1:
Для того чтобы транспортная задача имела допустимые планы необходимо и достаточно выполнения равенства- сумма(ai)= сумма(вj), если сумма(ai)>/< сумма(вj), то модель называется открытой. Для разрешимости её необходимо преобразовать в закрытую. Для этого вводим либо фиктивного поставщика, либо фиктивного потребителя. Тариф при этом равен нулю и все тарифы одинаковы- целевая функция не меняется.
Теорема 2:
О ранге матрицы.
Ранг матрицы в транспортной задачи на единицу меньше числа уравнений- Z=m+n-1 (Z-число занятых клеток ). Если у нас сумма(ai)>сумма(вj),то необходимо ввести n+1 пункт назначения., т.е. в матрице задачи предусматривается дополнительный столбец и спрос фиктивного потребителя полагается равным Bn+1=сумма(aj)-сумма(вj). Если наоборот, то вводится фиктивный поставщик (am+1=сумма(вj)-сумма(ai))
Построение исходного опорного плана: