18. Ряды.

Пусть , где - бесконечная числовая последовательность. Выражение - бесконечный числовой ряд, а , - члены ряда.

числовая последовательность nЄN

- n-ая частичная сумма ряда nЄN

…

последовательность n-ых частичных сумм ряда

Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел

для расходящихся рядов эта запись не имеет смысла

общий член ряда, задается формулой

не существует ряд расходится!

- сумма ряда→ряд сходится

Эталонные ряды: /q/≥1-расходящийся; /q/<1 – ряд сходящийся.

гармонический ряд, расходящийся!

/q/≤1-расходящийся; /q/>1 – ряд сходящийся.

Осн. Виды рядов: положительные, знакочередующиеся, знакопеременные, степенные, функциональные.

19Ряды.Св-ва рядов

Пусть , где - бесконечная числовая последовательность. Выражение - бесконечный числовой ряд, а , - члены ряда.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел

для расходящихся рядов эта запись не имеет смысла

Свойства сходящихся рядов:

сход-ся→ сумма ряда

остаток ряда Rn

Св-во 1. Если ряд сходится, то последовательность Rn является бесконечно малой последовательностью. Док-во :Rn= Св-во 2: Н.у. если ряд сходится, то предел Док-во : сущ-ет =0

Если ряд сходится, то предел , но обратное не верно, но достаточное условие для расходимости: - ряд расходится.

Св-во 3: отбрасывание или добавление сколько угодно n первых членов ряда не влияет на сходимость. ;

Св-во 4: если каждый член ряда умножить на какое-либо число, то это не влияет на сходимость. - сход, =

20. Необх. Признак сходимости

Пусть , где - бесконечная числовая последовательность. Выражение - бесконечный числовой ряд, а , - члены ряда.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел

для расходящихся рядов эта запись не имеет смысла

Если ряд сходится, то последовательность Rn является бесконечно малой последовательностью. Док-во :Rn= Св-во 2: Н.у. если ряд сходится, то предел Док-во : сущ-ет =0

Если ряд сходится, то предел , но обратное не верно, но достаточное условие для расходимости: - ряд расходится.

21. Числовой ряд – знакополож. (1), если все >0

Если

для (1) будет неубывающ. Или возраст. Последовательно

1. 1) если сходится, то она ограничена.

2) если монотонна, ограничена, то она сходится

Т1(признак сравнения)

Пусть даны 2 знакоположит. Числ. Ряда

(2) пусть : :

1) из сходимости ряда 2

2) из расходимости ряда 1 следует расходимость ряда 2

1) докажем: Пусть дано что сходится(2):

(

Тогда из нер-ва следует ограниченность последовательности ряда (1) и это значит что (1) сходится

2) ряд (1) расходится

(2) расх.

Признак сравнения применяется для рядов, у которых постоянная степень: ….эти ряды нужно сравнивать с эталонным рядом.

Т2( признак сравнения в предельной форме)

–сход.

- ряд сход. Из Т1

=> сход.

=> ряд может сход. И расход.

Пусть : знакоположительные

2)

,тогда 1 и 2 сходятся или расходятся одновременно

=1 =>ряд

22. Числовой ряд – знакополож. (1), если все >0

Если

для (1) будет неубывающ. Или возраст. Последовательно

2. 1) если сходится, то она ограничена.

2) если монотонна, ограничена, то она сходится

Признак Даламбера

Пусть ;

Тогда q>1 ряд расходится ; q<1 ряд сходится

Док-во:

1. начиная с не выполнено необходимое условие сходимости ряда, а если оно не выполнено => ряд расход-ся

2. (

, но р <1

1

р

1 u2<p*u1; u3<p*u2<p^2*u1; u4<p*u3<p^3*u1….. ,

тогда , р<1

ср. с р - сход.=> тоже сход-ся.

Замечание к признаку Даламбера

Если в пр. Даламбера , то признак не дает ответа.

Признак применяется если (к! или )

23. Числовой ряд – знакополож. (1), если все >0

Если

для (1) будет неубывающ. Или возраст. Последовательно

1. 1) если сходится, то она ограничена.

2) если монотонна, ограничена, то она сходится

Радикальный признак Коши

(1)

Если = q

При q>1 расход

q<1 сход

Док-во

<1 сход

Замечание 1: q=1, признак Коши не дает ответа на вопросы сходимости ряда

Замечание 2: Док-во: если =q, то =q

Признак Коши сильнее Даламбера, если Даламбер не работает, применяют Коши.

Замечание 3: ( )

Замечание 4: известный

=1 (а>0)

=1

=

=0

24. Числовой ряд – знакополож. (1), если все >0

Если

для (1) будет неубывающ. Или возраст. Последовательно

1. 1) если сходится, то она ограничена.

2) если монотонна, ограничена, то она сходится

Интегральный признак Коши - Макларена

Рассмотрим ряд (1),

; f(x) x

T: если фун-я f(x) –невозраст.

с несобственным интегралом

Sвход

f(2)+f(3)+…f(n)

u2+u3+…+

Sn-n1

1)Пусть

Sn – огр.(по кр. Ряд сходится)

2) - расх.

Sn

Если интеграл расх. то и сумма тоже стремится к => интеграл расход.

; f(x) =

dx =

–расх.

( p>1 – сход. р<1 – расх. ) эталонный ряд