- •Двойной интеграл
- •2. Двойной интеграл
- •4. Тройной интеграл
- •5. Тройной интеграл
- •6. Тройной интеграл
- •7. Замена переменных в тройном интеграле
- •9. Приложения тройного интеграла
- •10. Криволинейный интеграл первого рода
- •11. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
- •12. Криволинейный интеграл 2-го рода
- •18. Ряды.
- •19Ряды.Св-ва рядов
- •20. Необх. Признак сходимости
- •25. Знакочередующийся ряд.
- •26. Знакопеременный числовой ряд.
- •30. Разложение функции в степенной ряд. Формулы Тейлора и Маклорена.
5. Тройной интеграл
U=f(x,y,z)- Функция 3х переменных
TЄR3
lim – интегральная сумма д/функции 3х переменных по области V
Если существует предел интегральной суммы при условии, что он не зависит от разбиения на части и выбора промежутка, то он называется тройным интегралом по области от функции 3х переменных.
Если этот предел не зависит от способа разбиения, то область будем разбивать плоскостью // координатным плоскостям, и i-тый кусок будет параллелепипед со сторонами
Vпаp=
dv=dx dy dz
Условие существования – непирывность функции в области V
U=f(x,y,z)
Свойства 3-го интеграла
1 )
2)
3)V=V1V2 +
4)f(x,y,z)≥g(x,y,z) V(x,y,z)ЄV:
5)
6)m – наименьшее значение функциив области V, M – наибольшее значение функиции в области V
7) Теорема о среднем значении
f – неприрывна в области V, то найдется m0ЄM0
ср. занч.: f(M0)=
6. Тройной интеграл
U=f(x,y,z)- Функция 3х переменных
TЄR3
lim – интегральная сумма д/функции 3х переменных по области V
Если существует предел интегральной суммы при условии, что он не зависит от разбиения на части и выбора промежутка, то он называется тройным интегралом по области от функции 3х переменных.
Если этот предел не зависит от способа разбиения, то область будем разбивать плоскостью // координатным плоскостям, и i-тый кусок будет параллелепипед со сторонами
Vпаp=
dv=dx dy dz
Условие существования – непирывность функции в области V
U=f(x,y,z)
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
V: z1(x,y)≤z≤z2(x,y)
Z
Порядок интегрирования произвольный, в зависимости от функции и области.
7. Замена переменных в тройном интеграле
x=x(u,v,w) y=y(u,v,w) z=z(u,v,w) – ф-я неприрывна вместе с частными производными x’u, x’v, x’w y’u, y’v, y’w z’u, z’v, z’w, тогда существует определитель Якобиан J(uvw)= , если определитель отличен от 0
Цилиндрические координаты
zЄR
Вычисление Якобиана в цилиндрических координатах
Сферические координаты
= =
Обобщенные сферические координаты
J=abc
9. Приложения тройного интеграла
1)объем тела
2) масса тела
3) Статические моменты относительно координатных осей
Координаты центра тяжести
10. Криволинейный интеграл первого рода
Кривая l называется гладкой, если в каждой точке этой прямой существует касательная, положение которой неприрывно меняется при движении точки по кривой.
Если прямая гладкая, а функция f(x,y)- неприрывная, то интеграл существует
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода
1)
2)
3)
4)
5) f(x,y)≥g(x,y) V(x,y)ЄV
6)
7) Если ф-я неприрывна на интервале АВ. То найдется точка МЄАВ
11. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
dl-дифференциал
1)АВ: у=у(х) – явно
2) AB: x=x(t); y=y(t)
3) AB:
12. Криволинейный интеграл 2-го рода
- интегральная сумма д/ф-ии Р(х,у) по координате х
Если существует предел указанной суммы при условии что кол-во точек разбиения стремится к бесконечности, а Δх к нулю не зависящий ни от способа разбиения на части, ни от выбора промежутка Мi, то он называется криволинейным интегралом функции Р по координате х.
Q(x,y) – непрерывна по АВ и составить д/нее криволинейный интеграл по оси у→
Интеграл 2-го рода общего вида:
Условия существования криволинейного интеграла 2-го рода:
Если ф-ии непрерывны в каждой точке гладкой кривой АВ, то криволинейный интеграл 2-го рода существует.
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода
2)
3) Если АВ замкнута , то интеграл не зависит от начальной точки интегрирования но зависит от выбора направления интегрирования
Направление движения против часовой стрелки положительное!
13. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода:
Параметрически.
АВ: х=х(t) y=y(t)
∆xi=xi-1=x’(ti)∆ti
∆yi=yi-1=y’(ti)∆ti
ti: xi(ti), yi(ti)
составляем интегральную сумму:
Интегральная сумма
2) В декартовых координатах.
х=х
у=у(х)
14. Приложение криволинейного интеграла первого рода
1) Длина кривой
2) Масса материальной кривой m=
3) Статические моменты материальной кривой
4) Координаты центра тяжести
5) Площадь цилиндрической поверхности f(x,y)=z
Приложение криволинейного интеграла 2-го рода
Площадь области Д: S:
S:
S:
15. Формула Остроградского-Грина
Если ф-ии непрерывны вместе с в замкнутой области D, то имеет место формула
Доказательство:
16. Условие независимости интеграла 2-го рода от пути интегрирования
Область Д называется односвязной, если найдется бесконечное количество линий, которые связывают любые точки А и В (А,В – целиком находятся в этой области.)
Если ф-ии P и Q непрерывны в односвязной области Д вместе с , то для того, чтобы криволинейный интеграл 2-го рода не зависел от путей интегрирования необходимо и достаточно, чтобы
Н.у. пусть не зав-т от путей интегрирования, тогда:
Д.у. из формулы Грина:
Следствие 1. Если контур замкнут и
Следствие 2.
не зависит от путей интегрирования, но зависит от выбора точек.
Замечание. Если интеграл второго рода не зав-т от пути интегрирования, то путь выбирается самостоятельно любым образом (линия соед. А и В). Удобно выбирать 2 пути || осям координат.
17. Полный дифференциал функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных — выражение
в случае, когда оно отличается от полного приращения Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f (x, y, z, …)
на величину, бесконечно малую по сравнению с
Главная линейная относительно Δx и Δy часть полного приращения функции z=f(x,y)
называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) .