10 Производная сложной и обратной функции.

Теорема.Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х₀ производная f(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у₀=f(x₀) и g(y₀)=1/f(x₀) или x_y=1/y_x.

Доказательство.

Пусть а=f(x₀). Тогда из дифференцируемости f(x) в х₀ следует, что приращение у= f(x₀+х) - f(x₀) можно представить в виде у=ах+ах=(а+а) х, где а=а(х)0 при х0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что х0, когда у0. Имеем

g(y₀)= lim g(y+y)-g(y₀) = lim x =lim y^-1 = 1 .

^y0 y ^y0 y ^y0 x f(x₀)

Теорема.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t₀ и g(t₀)=x₀, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t₀ и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|_t=to=f(x₀)_*g(t₀) или y_t=y_x*x_t.

Доказательство.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, поэтому её приращение можно представить как y=f(x₀)+a(x)_*x. Где x0 при t0 поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемости) в точке t₀. Так как а(x)0 при x 0 и при t0. Поэтому

d f(g(t))|_t=to=lim (f(x₀)) x +a(x) x =

dt ^t0 t t

=f(x₀)g(t₀)+0_*g(t₀)= f(x₀)g(t₀).

11. Производная основных элементарных функций.

Производная логарифмической функции. y=log_ax

y=log_a(x+x)-log_ax=log_a(1+x/x)=1 log_a(1+x/x)= 1log_a(1+t)=1 log_a(1+t)^1/t

x x x x x/x x t x

где t=x/x Используя непрерывность функции log_ax в точке х=е и первый замечательный предел, найдём производную логарифмической функции: (log_ах)= 1(log_а(lim(1+t)^1/t) = 1log_ae= 1.

x ^t0 x x lna

Производная показательной функции.

У=а^х является обратной для функции х=log_ау. По теореме

у_х= 1= 1 =ylna

x_y 1/ylna

Поскольку у=а^х, получаем (а^х)=а^хlna.

Производная степенной функции.

Функция у=х^а при х>0 может быть представлена в виде х^а=е^alnx. Найдём (х^а)=( е^alnx)= е^alnx(alnx)=х^а_*а/х=ах^а-1 Аналогично доказывается для x<0.

Производные тригонометрических функций.

С помощью формулы sinа-sinb=2sin[(a-b)/2]_*cos[(a+b)/2] , первого замечательного предела и непрерывности функции cos x найдём

(sinх)=lim sin (х+х) – sinх= lim 2sin(х/2) cos(х+х/2) =

^x0 x ^x0 x

=lim sin(х/2) cos(х+х/2) = cos x

^x0 x/2

Для нахождения производных функций cos x и tg x можно использовать тождество cos x=sin(x-/2) , правило дифференцирования сложной функции.

Итак, (sin х)=cos x, (cos x)= - sin x, (tg x)=1/cos² x.

Производные обратных тригонометрических функций.

Функция у=arcsinx является обратной для функции х=sinу. Следовательно, (arcsinx)_x= 1 = 1= 1= 1

(siny)_y cosy 1-sin²x^ 1-x^2

Аналогично находятся остальные обратные тригонометрические функции. (arcsinx)=1/1-x^2, (arccosx)= - 1/1-x^2, (arctgx)=-1/(x²+1).