- •1. Функция, одз
- •2. Свойства функции.
- •3. Обратная функция.
- •4. Сложная функция.
- •5. Основные элементарные функции.
- •6. Предел функции
- •7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •2.Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть снова бесконечно малая функция.
- •8. Свойства предела функции.
- •9. Односторонние пределы.
- •10. Асимптоты функций.
- •11 Монотонные функции.
- •12. Замечательные пределы.
- •13. Формула непрерывных процентов.
- •14 Непрерывность функции в точке.
- •Свойства функций непрерывных в точке
- •15. Основные элементарные функции:
- •16. Теорема о непрерывности сложной функции.
- •17. Теорема о непрерывности обратной функции.
- •18. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их 7классификация.
- •1. Производная функции и ее геометрический смысл.
- •6. Понятие функции, дифференцируемой в точке.
- •7. Дифференциал функции в точке
- •8. Приближенные вычисления.
- •9. Эластичность функции и ее свойства.
- •10 Производная сложной и обратной функции.
- •11. Производная основных элементарных функций.
- •1 2. Правило Лопиталя
- •13 .Производные и дифференциалы высших порядкров.
- •14 Формула Тейлора.
- •15 Условия монотонности функции.
- •16. Условия сущ. Экстремула
- •17. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.
- •1 8. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
- •19. Теорема Ферма
- •20. Теорема Ролля
- •21. Теорема Лагранжа
- •2. Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •3 Табличные интегралы.
- •4. Метод замены переменной или метод подстановки
- •5. Метод интегрирования по частям
- •5. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.
- •6. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.
- •7. Несобственые интегралы с бесконечными пределами.
- •8. Несобственные интегралы от неограниченных ф-й.
- •4. Дифференциалльное исчисление функций нескольких переменных.
- •2 Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.
- •3. Производная по направлению. Градиент.
- •4 Однородные функции. Формула Эйлера.
- •5. Производственные функции и функции полезности. Изокосты, изокванты и линии безразличия.
- •6. Неявные функции
- •7. Теоремы существования решений системы функциональных уравнений.
- •8. Теоремы существования решений функционального уравнения.
- •9 Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
- •10. Наибольшее и наименьшее значения функции на ограниченном замкнутом множестве.
- •11. Метод наименьших квадратов.
- •12. Выпуклые функции в Rn и их свойства.
- •13. Множители Лагранжа и теорема Куна-Таккера.
- •5. Числове и функциональные ряды.
- •1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.
- •2 Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости (сравнения, Даламбера, интегральный)
- •Признаки сравнения
- •3 Знакопеременные ряды, ряды с комплексными числами.
- •4. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.
- •5. Условно сходящиеся ряды.
- •6. Ряды с комплексными членами. (cо слов Гончаренко)
- •8. Степенные ряды.
6. Понятие функции, дифференцируемой в точке.
Опр. Функция у=f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение в х0 можно представить в виде ∆у=А∆х+α(∆х)∆х (*), где А – некоторое число, α(∆х) – функция от ∆х, являющаяся бесконечно малой при ∆х→0. Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой же точке устанавливает Теорема.
Теорема. Для того чтобы f(x) была дифференцируема в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Доказательство. 1.Необходимость. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в х0. Тогда ее приращение можно представить в виде (*). Следовательно
Следовательно производная существует и равна А. 2.Достаточность. пусть существует конечная производная f ′ (х0)=А. Тогда по определению производной, lim∆х→0(∆у/∆х)=А. положим, что α(0)=0 и α(∆х)= (∆у/∆х) – А, если ∆х≠0. Определеннная так функция α(∆х) является бесконечно малой при ∆х→0. Действительно lim∆х→0α (∆х)= lim∆х→0((∆у/∆х) – А)=А – А=0. Кроме того , ∆у=А∆х+α(∆х)∆х. Тем самым доказано, что функция дифференцируема в х0.
Замечание. Если функция дифференцируема в х0, то из (*) следует, что ∆у→0, когда ∆х→0, т.е. функция непрерывна в данной точке. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке.
Пусть f(x) дифференцируема в х0 ,следовательно, существует производная и коэффициент А из (*) совпадает с производной, как следует из доказательства теоремы. Тогда формулу (*) можно представить
f(x)=f(х0)+ f ′ (х0) ∆х +α(∆х)∆х. α(∆х) б.м. функция (∆х→0)
(**)
∆f(х0)~ f ′ (х0) ∆х (приращение функции эквивалентно произведению производной на приращение аргумента)
7. Дифференциал функции в точке
Опр. Диф-м функции в х0 наз. линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.
d f(х0)= f ′ (х0) ∆х; ∆х=dх; df(х0)= f ′ (х0) dх
Геометрический смысл. Уравнение касательной в х0 эквивалентно уравнению
у=f(х0)+ f ′ (х0) ∆х (***)
сравнивая (**) и (***) видим, что расстояние от точки Р(х, f(x)) на графике до точки Q (x, f(х0)+ f ′ (х0) ∆х) на касательной равно α(∆х)∆х, т.е. является бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆х, когда ∆х→0.
Вывод: геометрический смысл дифференцируемости f(x) в точке х0 состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х.
8. Приближенные вычисления.
f(x0)f '(x0) x
f(x0+x)- f(x0) f '(x0) x x
f(x0+x) = f(x0)+ f '(x0) x
9. Эластичность функции и ее свойства.
Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется следующий предел
Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).
Δx 0
Говорят также, что Еxy(x0) – это коэффициент эластичности y по x.
(При достаточно малых Δx выполняется приближенное равенство
(Δy/y): (Δx/x) Еy Δy/y Еy Δx/x.
Эластичность Ey – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.)
Еyx(x0) = lim ( (f(x0 + Δx) – f(x0))/f(x0) : Δx/x0 ) = (x0/f(x0))f’(x0)
Δx0
Ey = (x/y)y’.
Если y’/y представить как логарифмическую производную, то получается
Ey = x(lny)’
x = 1/(1/x) = 1/(lnx)’ Ey = (lny)’/(lnx)’
Свойства эластичности (эластичность во всех последующих примерах будет браться по x)
Eky = Ey
Eky = x (ln (ky))’ = x (ln k + ln y)’ = x(ln y)’ = Ey
Euv = Eu + Ev
Euv = x (ln uv)’ = x (ln u + ln v)’ = x(ln u)’ + x(ln v)’ = Eu + Ev
E u/v = E u – Ev
y = y1 + y2; y1, y2 > 0
Emin Ey Emax
Emin = min {E(y1), E(y2)}
Emax = max {E(y1), E(y2)}
(Лемма a/b, c/d – дроби; a/b c/d a/b (a+c)/(b+d) c/d)
E(y) = y’x/y
E (y1 + y2) =( (y1 + y2)’/ (y1 + y2))•x = ( (y1’ + y2’)/ (y1 + y2))•x
E(y1) = (y1’/y1)x; E(y2) = (y2’/y2)x
Из леммы получаем: (y1’/y1)x ( (y1’ + y2’)/ (y1 + y2))•x (y2’/y2)x
Emin Ey Emax
Для функций y = f(x) и x = g(t) эластичность y по tв точке t0 удовлетворяет следующему равенству:
Eyx(t0) = Eyx(g(t0))Ext(t0).
Eyt(t0) = (ln y)’t = (ln y)’t (ln x)’t = (ln y)’x xt’ Ext(t0) = Eyx(g(t0))Ext(t0)
(ln t)’t (ln x)’t (ln t)’t (ln x)’x xt’
Для функции y = f(x) эластичность обратной функции x = g(y) в точке x0 удовлетворяет соотношению:
Exy(y0) = E –1yx(g(y0)).
Поскольку g (y) – обратная функция, то выполняется тождество
f(g(y)) = y
По свойству 5) получается Eyx(g(y0))Exy(y0) = Eyy(y0) = lim((Δy/y):(Δy/y)) = 1
Eyx(g(y0))Exy(y0) = 1 Exy(y0) = E –1yx(g(y0))