dolgih
.pdfРедакционная коллегия СЕРИИ «УЧЕБНИКИ НГТУ»
д-р техн. наук, проф. (председатель) Н.В. Пустовой д-р техн. наук, проф. (зам. председателя) Г.И. Расторгуев
д-р техн. наук, проф. А.Г. Вострецов д-р техн. наук, проф. В.В. Губарев д-р техн. наук, проф. В.А. Гридчин д-р техн. наук, проф. В.И. Денисов д-р экон. наук, проф. К.Т. Джурабаев д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев д-р техн. наук, проф. К.П. Кадомская д-р филос. наук, проф. В.В. Крюков
д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Дмитриев д-р физ.-мат. наук, проф. Х.М. Рахимянов д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор д-р экон. наук, проф. В.А. Титова д-р техн. наук, проф. А.И. Шалин д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко д-р техн. наук, проф. Г.М. Шумский
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
ЧАСТЬ 2
НОВОСИБИРСК
2007
УДК 517 (076.1) М 34
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. К.Н. Пономарѐв, д-р техн. наук, проф. Г.М. Шумский
Коллектив авторов:
В.Я. Долгих, Г.Б. Корабельникова, Э.Б. Шварц, Г.В. Недогибченко
М 34 Математический анализ в примерах и задачах : учеб. по-
собие. Часть 2 / В.Я. Долгих, Г.Б. Корабельникова, Э.Б. Шварц, Г.В. Недогибченко; под ред. В.Н. Максименко : – 2-е изд., доп. и перераб. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2007. – 208 с. – («Учебники НГТУ»).
ISBN 978-5-7782-0829-2
Настоящее пособие включает в себя теоретические сведения, задачи и упражнения по следующим разделам курса высшей математики: предел и непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких действительных переменных, их приложения к задачам геометрии и механики, дифференциальные уравнения, ряды.
Типовые задачи даны с подробными решениями. Приведены задачи для самостоятельного решения. Все задачи снабжены ответами.
УДК 517 (076.1)
ISBN 978-5-7782-0829-2 |
© Коллектив авторов, 2002, 2007 |
|
|
||
|
© |
Новосибирский государственный |
|
технический университет, 2002, 2007 |
|
|
|
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
– знак логического следования
– знак равносильности (эквивалентности)
– знак принадлежности
– знак соответствия
: = |
– равенство по определению |
– квантор общности
– квантор существования! – «существует точно один»
{a,b,c, } – множество, состоящее из элементов a,b,c,
– пустое множество
|
A B |
– объединение множеств |
|
||
|
A B |
– пересечение множеств |
|
||
|
A \ B |
– разность множеств |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
A, U \ A |
– дополнение множества А до универсального мно- |
|||
|
|
|
|
жества U |
|
|
A B |
– множество А является подмножеством множества В |
|||
|
A B |
– множество А является собственным подмножеством |
|||
|
|
|
|
множества В |
|
|
– множество элементов x , удовлетворяющих условию |
||||
{x |
P(x)} |
||||
|
|
|
|
P(x) |
|
|
f : X Y |
– функция, отображающая множество X в (на) мно- |
|||
|
|
|
|
жество Y |
|
|
f 1 : Y X |
– функция, обратная к функции |
f , отображающая |
||
|
|
|
|
множество Y в (на) множество X |
|
|
D( f ) |
– область определения функции |
f |
||
|
E( f ) |
– множество значений функции |
f |
||
|
f g |
– композиция функций f и g , |
т.е. сложная функция, |
составленная из функций f и g
[a,b] – замкнутый промежуток (отрезок, сегмент) с началом a
и концом b
(a,b) – открытый промежуток, интервал [a,b) , (a,b] – полуоткрытый отрезок
a,b |
|
|
– |
промежуток (любой из вышеперечисленных) |
|||||||||
O(a, ε) : ={ x |
|
: |
|
x a |
|
} – « » – окрестность точки a |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
O (a, ) : ={ x |
|
: |
0 |
|
x a |
|
} – проколотая « » – окрестность |
||||||
|
|
|
|||||||||||
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки a |
||
– последовательность с « n »-м членом un |
|||||||||||||
N : = {1, 2, |
, n, |
} – множество натуральных чисел |
|||||||||||
Z : ={ n, |
|
, , |
, , , n, } – множество целых чисел |
||||||||||
R |
– множество действительных чисел |
||||||||||||
R |
– множество положительных действительных чисел |
||||||||||||
Ro |
– множество неотрицательных действительных чисел |
||||||||||||
R |
– множество отрицательных действительных чисел |
||||||||||||
C |
– множество комплексных чисел |
||||||||||||
Rn – « n » |
– мерное арифметическое пространство |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
k , n |
– « k » принимает все целые значения от 1 до n . |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основой математической подготовки инженера является общий курс высшей математики. Опыт показывает, что успешному усвоению этого курса, помимо работы с учебниками и конспектами лекций, способствует использование различного рода вспомогательных изданий – справочников и методических справочных пособий, отражающих объем и структуру материала, изучаемого в конкретном вузе.
Настоящее учебное пособие состоит из трех частей. Предлагаемая читателю вторая часть пособия по курсу математического анализа разработана на кафедре инженерной математики НГТУ и включает в себя главы с девятой по четырнадцатую. Она содержит 767 задач по разделам: предел и непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких действительных переменных, их приложения к задачам геометрии и механики; дифференциальные уравнения, ряды.
Пособие имеет следующую структуру: каждый параграф содержит формулировки основных определений и теорем; задачи и упражнения с подробными решениями; набор задач и упражнений для самостоятельного решения с ответами. Такая структура книги делает ее удобной для самостоятельного овладения предметом при минимальной помощи со стороны преподавателя. Начало разобранных задач обозначено символом , а завершение решения задач – символом . В некоторых случаях для наиболее употребительных определений и теорем дается вторая (краткая) их запись с помощью кванторов и логических символов. В конце каждой книги приведен список литературы, использованной авторами при подготовке материала и предлагаемой студентам для изучения данного раздела.
Настоящее пособие может быть использовано студентами всех факультетов НГТУ и других технических вузов, а также преподавателями при подготовке и проведении практических занятий.
Приведенное количество задач не только удовлетворит потребности студентов в практическом закреплении знаний по соответствующему разделу курса, но и даст возможность преподавателю разнообразить выбор задач в зависимости от уровня подготовки студентов. Ряд предлагаемых задач и упражнений может быть использован преподавателем для проведения контрольных работ.
Для наглядности часть задач иллюстрируется рисунками.
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.................................................................... |
5 |
ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................................................... |
7 |
Глава 9 . Функции нескольких переменных .................................... |
8 |
9.1. Основные понятия, определения................................................ |
8 |
Задачи для самостоятельного решения ................................ |
10 |
9.2. Предел функции........................................................................ |
10 |
Задачи для самостоятельного решения ................................ |
12 |
9.3. Непрерывность функции .......................................................... |
13 |
Задачи для самостоятельного решения ................................ |
14 |
9.4. Частные производные и дифференцируемость |
|
функции..................................................................................... |
14 |
Задачи для самостоятельного решения ................................ |
15 |
9.5. Дифференцируемость функции. Дифференциал |
|
функции.................................................................................... |
16 |
Задачи для самостоятельного решения................................ |
18 |
9.6. Дифференцирование сложных и неявных функций ................ |
19 |
9.6.1. Сложные функции одной и нескольких переменных ............ |
19 |
9.6.2. Неявные функции одной и нескольких независимых |
|
переменных....................................................................... |
21 |
Задачи для самостоятельного решения ................................ |
22 |
9.7. Приложения частных производных и дифференциала ............ |
23 |
9.7.1. Приложение дифференциала к приближенным |
|
вычислениям....................................................................... |
23 |
9.7.2. Касательная поверхность и нормаль к поверхности ............... |
23 |
204 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
9.7.3. Экстремум функции двух переменных.................................. |
24 |
|
9.7.4. Наибольшее и наименьшее значения функции двух |
|
|
|
переменных в замкнутой области ......................................... |
25 |
9.7.5. Формула Тейлора для функции 2-х переменных.................... |
26 |
|
Задачи для самостоятельного решения ................................ |
28 |
|
Ответы к задачам главы 9 ..................................................... |
29 |
|
Глава 10. |
Обыкновенные дифференциальные уравнения........ |
33 |
10.1. Основные понятия и определения........................................... |
33 |
|
10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.................... |
33 |
|
10.3. Уравнения первого порядка в нормальной или диф- |
|
|
|
ференциальной формах, решаемые в квадратурах ................. |
36 |
|
10.3.1. Уравнения с разделяющимися переменными...................... |
36 |
|
10.3.2. Однородные дифференциальные уравнения |
|
|
и приводящиеся к ним....................................................... |
38 |
10.3.3. Линейные уравнения первого порядка. |
|
|
|
Уравнение Бернулли .......................................................... |
41 |
10.3.4. Уравнения в полных дифференциалах. |
|
|
|
Интегрирующий множитель............................................... |
44 |
Задачи для самостоятельного решения ................................ |
48 |
|
10.4. Геометрические и физические задачи, приводящие |
|
|
к решению дифференциальных уравнений первого |
|
|
порядка....................................................................................... |
50 |
|
Задачи для самостоятельного решения ................................ |
52 |
|
10.5. Дифференциальные уравнения высших порядков ................... |
55 |
|
10.5.1. Основные понятия и определения. Задача Коши .................. |
55 |
|
10.5.2. Интегрируемость в квадратурах .......................................... |
57 |
|
Задачи для самостоятельного решения ................................ |
61 |
|
10.6. Линейные уравнения высших порядков ............................. |
62 |
|
10.6.1. Введение............................................................................ |
62 |
|
10.6.2. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными |
|
|
|
коэффициентами................................................................ |
68 |
Задачи для самостоятельного решения ................................ |
74 |
|
205 |
10.7. Системы обыкновенных дифференциальных |
|
уравнений ................................................................................. |
78 |
10.7.1. Основные понятия. Связь с дифференциальными |
|
уравнениями n-го порядка ................................................ |
78 |
10.7.2. Методы интегрирования нормальных систем ....................... |
83 |
Задачи для самостоятельного решения ................................ |
87 |
10.8. Линейные системы дифференциальных уравнений......... |
89 |
10.8.1. Введение............................................................................ |
89 |
10.8.2. Линейные системы с постоянными коэффициентами ........... |
90 |
Задачи для самостоятельного решения ................................ |
95 |
Ответы к задачам главы 10 ................................................... |
97 |
Глава 11. Ряды .................................................................................... |
107 |
11.1. Числовые ряды. Основные понятия .................................... |
107 |
11.2. Необходимый признак сходимости ряда............................. |
107 |
11.3. Линейные операции над числовыми рядами. |
|
Простейшие свойства числовых рядов.............................. |
108 |
11.4. Знакоположительные ряды.................................................. |
108 |
11.5. Знакочередующиеся ряды.................................................... |
113 |
11.6. Знакопеременные ряды........................................................ |
113 |
Задачи для самостоятельного решения ........................... |
115 |
Ответы к задачам главы 11 .............................................. |
118 |
Глава 12. Функциональные ряды .................................................. |
119 |
12.1. Функциональные ряды. Основные понятия.......................... |
119 |
Задачи для самостоятельного решения ............................. |
120 |
12.2. Равномерная сходимость функциональных рядов................ |
121 |
Задачи для самостоятельного решения ............................. |
122 |
12.3. Свойства равномерно сходящихся функциональных |
|
рядов....................................................................................... |
122 |
12.4. Степенные ряды. Свойства степенных рядов ....................... |
123 |
Задачи для самостоятельного решения ............................. |
125 |
206 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
12.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций |
|
в ряд Тейлора и Маклорена ................................................... |
125 |
Задачи для самостоятельного решения ............................. |
129 |
12.6. Приложения степенных рядов ............................................... |
130 |
Задачи для самостоятельного решения ............................. |
133 |
Ответы к задачам главы 12 ................................................ |
134 |
Глава 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье ...................................... |
137 |
13.1. Ортогональные системы функций. Основная |
|
тригонометрическая система функций (ОТС) ...................... |
137 |
13.2. Ряд Фурье по ортогональной системе функций.................... |
138 |
13.3. Тригонометрические ряды Фурье.......................................... |
138 |
Задачи для самостоятельного решения ............................ |
142 |
13.4. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье .............................. |
143 |
Задачи для самостоятельного решения ............................ |
147 |
Ответы к задачам главы 13 ................................................ |
148 |
Глава 14. Кратные, криволинейные, поверхностные |
|
интегралы .......................................................................... |
151 |
14.1. Определение кратного интеграла. |
|
Определение двойного и тройного интегралов.................... |
151 |
14.2. Двойные интегралы................................................................ |
152 |
14.2.1. Области на плоскости ..................................................... |
152 |
Задачи для самостоятельного решения ............................. |
154 |
14.2.2. Повторный интеграл ....................................................... |
154 |
Задачи для самостоятельного решения ............................. |
155 |
14.2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых |
|
координатах................................................................... |
156 |
Задачи для самостоятельного решения ............................. |
158 |
14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле ........................ |
159 |
Задачи для самостоятельного решения ............................. |
163 |