dolgih
.pdf192 |
Г л а в а 14. |
Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы |
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xdxdy |
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0 x 1 |
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D1 : |
1 x |
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D1 |
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0 y |
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1 1/ 6 ; |
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xdx dy x(1 x)dx (x2 / 2 x 3 / 3) |
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xdxdz |
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D2 |
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0 x 1 |
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1/ 6 , так как области D1 и D2 |
перехо- |
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: |
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D2 |
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0 z 1 x |
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дят одна в другую заменой у на |
z; |
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0dydz 0 ; |
(1 y z) |
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0 y 1 |
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3dydz |
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D4 : |
z 1 y |
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D3 |
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D4 D3 |
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0 |
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1 |
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1 y |
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1 |
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z 1 y |
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dy (1 y z)dz |
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/ 2 (1 y z)2 |
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3 |
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3 |
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dy |
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0 |
0 |
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0 |
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z 0 |
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(1 y)2 dy |
3 |
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(1 y)3 |
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1 |
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3 |
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3 / 2) |
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0 |
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I 1 / 6 1 / 6 0 3 / 6 (2 3) / 6 . |
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Задачи для самостоятельного решения |
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Вычислить поверхностные интегралы первого рода. |
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120. xyzd , где – часть плоскости x y z 1, |
|
лежащая |
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в первом октанте. |
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121. |
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xd , |
где – |
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часть сферы |
x2 y2 |
z2 |
R2 , |
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лежащая |
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в первом октанте. |
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122. yd , где – полусфера |
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z |
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R2 x2 y2 . |
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123. |
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R2 x2 y2 d , где – |
полусфера |
z |
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R2 x2 y2 . |
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124.d , где – цилиндр x2 y2 R2 , ограниченный плос-
r2
костями z 0, z H , а r – расстояние от точки поверхности до начала координат.
125. (xy yz zx)d , где – часть конической поверхности
z x2 y2 , вырезанная поверхностью x2 y2 2ax .
194 Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
б) если : y y(x, z), (x, z) Sxz , то
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f (x, |
y, z) dxdz f |
x, y(x, z), |
z dxdz ; |
(14.35б) |
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Sxz |
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в) если : x x( y, z), ( y, z) Syz , то |
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f (x, |
y, z) dydz |
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f x( y, z), |
y, z dydz . |
(14.35в) |
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S yz |
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СВЯЗЬ МЕЖДУ ПИ-1 И ПИ-2
Теорема 14.12. Если – гладкая двусторонняя поверхность, ориентация характеризуется нормалью n cos , cos , cos = n / n , P(x, y, z), O(x, y, z), R(x, y, z) – функции, определенные и непрерывные на , то
Pdydz Qdxdy Rdxdy (P cos Q cos R cos )d . (14.36)
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СВЯЗЬ МЕЖДУ ПИ-2 И ТРОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ |
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(ФОРМУЛА ГАУССА – ОСТРОГРАДСКОГО) |
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Теорема 14.13. Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) – |
непрерывные вместе со своими частными производными (первого порядка) в некоторой пространственной области V, ограниченной гладкой замкнутой поверхностью с положительной внешней стороной. Справедлива формула Гаусса-Остроградского
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P |
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Q |
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R |
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Pdydz Qdxdz Rdxdy |
x |
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y |
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dxdydz |
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V |
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z |
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З а м е ч а н и е. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе «Элементы теории поля».
Пример 25. Вычислить ПИ-2: x2 y2 zdxdy, где : x2 y2
z R2 – положительная (внешняя) сторона сферы.
Для вычисления ПИ-2 замкнутую поверхность необхо-
димо разбить на с уравнением z |
R2 x2 y2 и |
2 |
с уравнени- |
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1 |
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ем z |
R2 x2 y2 |
(рис. 14.28). Тогда на основании (14.32) по- |
ложительная сторона поверхности |
1 характеризуется нормальным |
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, z |
, 1}, ибо угол между |
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вектором |
n |
{ z |
n |
и положительным на- |
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1 x |
y |
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1 |
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Ответы к задачам главы 14 |
199 |
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29. |
d |
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f ( cos , sin ) d . |
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0 |
2 sec( / 4) |
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/ 4 |
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a |
cos 2 |
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d |
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f ( cos , sin ) d . |
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/ 4 |
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0 |
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/ 2 |
a sin 2 |
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31. |
d |
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f ( cos , sin ) d . |
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0 |
0 |
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2 |
1 |
32. |
x 2 cos , |
y 3 cos , I 6 d |
f (2 cos , 3 sin ) d . |
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0 |
0 |
3 cos2 sin
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d |
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33. |
I |
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3 |
f ( cos , |
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3 sin ) d . |
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0 |
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0 |
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2R sin |
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34. |
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d |
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f ( cos , |
sin ) d . |
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/ 6 |
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( R cos ec ) / 2 |
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/ 3 |
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2sec |
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/ 4 |
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sec |
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35. |
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d |
f ( )d . 36. |
d |
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f ( cos , sin ) d . |
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/ 4 |
0 |
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0 |
sin sec2 |
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37. [(1 R2 )ln(1 R2) R2]/ 4 . |
38. R2h . |
39. |
R3 ( 4 / 3) / 3 . |
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2 |
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41. 6 2 . |
42. a2b2 / 8 . |
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40. |
/ 6 . |
43. |
1/ 4 6 . |
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44. |
а) V : (x, |
y) S, 0 z (6 x 2y) / |
3 , S : x 0, |
y 0, x 2y 6 ; |
б) V : ( y, z) D, 0 x 6 2 y 3z , D : y 0, z 0, 2 y 3z 6 .
45.а) V : (x, y) S; R R2 x2 y2 z R R2 x2 y2 , S : x2 y2 R2 ;
б) V : ( y, z) D; 2Rz z2 y2 x 2Rz z2 y2 , D : y2 z2 2Rz 0 .
46.а) V : (x, y) S; x2 y2 z 4 , S : x2 y2 4 ;
б) V : ( y, z) D; z y2 x z y2 , D : z y2 , z 4 .
47. 2e 5 . |
48. (ln 2 5/ 8) / 2 . 49. 1/180. |
50. 2 8 /16 . |
200 |
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы |
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1 |
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/ 3 |
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R |
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51. |
1/ 96 . |
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52. |
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dz d f ( cos , sin , z) d . |
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0 |
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/ 4 |
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0 |
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/ 2 |
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2 cos |
2 |
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53. |
d |
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d |
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f ( cos , sin , |
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z)dz . |
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0 |
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0 |
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/ 2 |
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/ 2 |
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R |
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54. |
d |
sin d f (r cos sin , |
r sin sin , |
r cos ) r2dr . |
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0 |
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/ 2 |
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0 |
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2 |
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R2 2 |
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R |
3 / 2 |
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55. |
d |
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|
d |
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f ( cos , sin , |
z)dz |
|
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0 |
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0 |
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R |
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R2 2 |
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2 |
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|
/ 3 |
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R |
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2 |
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/ 2 |
|
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2R cos |
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или |
d sin d f r2dr d sin d |
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f r2dr , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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где f |
f (r cos sin , r |
sin sin , r cos ) . |
|
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56. |
8a2 / 9 . |
|
|
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57. |
4 R5 /15 . |
|
|
58. |
|
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|
a4 |
/ 8 . |
59. 4 ah / 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 (R25 R15 ) . |
|
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1 / |
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|
3 |
|
8] . |
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60. |
61. [3 10 ln |
2 |
10 |
|
2 |
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|
/10 . |
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62. |
63. 560/3. |
64. |
|
48 |
6 / 5 . |
65. 45. |
|
|
|
66. |
81/5. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
67. |
22 . |
|
|
|
68. 27. |
|
|
|
69. / 3 . 70. |
|
/ 8 . |
|
|
71. 19 / 6 и 15 / 2 . |
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|
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a2[2 |
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72. |
21(2 |
|
|
|
2) / 4 |
. |
|
|
73. |
|
|
2 ln(1 |
2)]/ 3. |
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0 |
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74. |
xc a / 2, yc |
8a / 5 . |
|
|
75. |
|
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|
xc |
|
yc a / 5 . |
|
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76. |
xc yc |
|
a / 8 . |
|
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|
77. |
|
|
xc |
|
5a / 6, yc 16a / 9 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
78. |
xc 14 /15, yc |
26 /15, zc |
8 / 3 . |
|
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|
|
|
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79. |
xc 6 / 5, |
yc 12 / 5, |
zc 8 / 5 . |
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80. |
xc yc |
|
0, zc |
5a(6 3 5) / 83 . |
|
|
81. |
|
5 ln 2 . |
82. 24. |
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83. |
p2 (5 |
|
|
5 1) / 3 . |
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|
84. |
|
|
4 a |
a . |
|
|
85. |
2a3 2 / 3 . |
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86. |
[(R2 4)3/ 2 8]/12 . |
87. |
2 |
2[(1 2 2 )3/ 2 1]/ 3 . |
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88. |
R2 2 . |
|
|
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89. |
a3 (ch3/ 2 2t |
1) / 6 . |
|
|
90. a7 / 3 . |
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0 |
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(1 e t ) |
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(2 a2 |
8 3b2 / 3) |
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|
a2 |
b2 . |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
91. |
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|
92. |
3 . |
|
|
Ответы к задачам главы 14 |
201 |
|
|
|
2 p2 (2 |
|
|
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||||||||||||||
93. |
2 1) / 3. |
|
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94. |
x |
b a (h a) /(h a) , |
|||||||||||||||||||||||||
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|
|
c |
|
|
|
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||||||||||
|
y h / |
2 ab / 2 |
|
h2 a2 . |
|
95. x |
y |
4a / 3 . |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
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|
c |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
96. |
(0; 2a ; b / 2) . |
|
|
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|
97. ab / 2 . |
|
98. |
112/3. |
|
|
|
99. |
1/ 3 . |
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
2 ab . 101. |
a2 . |
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||
100. |
102. 13. |
103. |
0. |
104. 3 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
105. |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
106. |
|
|
ln(13/ 5) . |
107. |
0. |
108. –9/2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
109. |
u (x3 |
y3 ) / 3 c . |
|
|
110. |
u x2 |
cos y y2 cos x c . |
||||||||||||||||||||||||||||||
111. |
u (ey |
1) /(1 x2 ) y c . |
112. |
u (x3 |
y3 z3 ) / |
3 2xyz c . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
113. |
u ln |
|
x y z |
|
c . |
114. |
u x x / y xy / z c . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
115. |
R4 / 2 . |
|
116. |
2 ab . |
117. 1) 0; 2) 2 . |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
а) (a2 b2 ) / 2 ; |
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||
118. |
б) |
0. |
|
119. |
0, 5k ln 2 . |
120. |
3 / 120 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
121. |
R3 / 4 . |
|
122. 0. |
|
|
|
123. R3 . |
124. |
2 arctg(H / R) . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||
125. |
64 |
|
2a4 /15 . |
|
126. |
|
|
2 R3 . |
127. |
2 (1 6 3) / 15 . |
128. a2 . |
||||||||||||||||||||||||||
129. x |
a / 2; |
|
y |
0; |
z |
16a / 9 . |
130. 3. |
131. |
2 R7 /105 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
||
132. |
0. |
133. 1/ 8 . |
|
|
|
|
134. 3 (x2 |
y2 z2 )dxdydz . |
135. 0. |
|
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|||||||||||||||||||||||||
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V |
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136. |
2 |
|
|
|
|
dxdydz |
|
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|
. |
|
137. 0. |
138. / 8 |
|
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||||||||||||||||
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||||||||||||||||
|
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
V |
|
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|||||||||||
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