dolgih
.pdf142 |
Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье |
|
|
Пример. Представить рядом Фурье в комплексной форме периодическую функцию f (x) (T 2 ) , определенную для 0 x 2
равенством f (x) ex .
Построим график данной функции (рис. 13.3).
у
e2
|
|
1 |
|
|
|
–4 |
–2 |
O |
2 |
4 |
x |
Рис. 13.3
Функция является кусочно-гладкой на [0; 2 ] , следовательно, ее можно разложить в ряд Фурье, который будет иметь вид
1 c einx .
2 n
c 1
n
1 2 ex(1 in)dx
0
|
|
1 |
2 |
||
f (x)e inxdx |
|
||||
|
|||||
|
|
0 |
|||
1 |
ex(1 in) |
|
2 |
||
|
|||||
|
|
||||
|
|
|
|||
(1 in) |
0 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
f (x)e inxdx |
exe inxdx |
||||||
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
||
|
1 |
e2 i2 n 1 |
e2 1 |
||||
|
|
. |
|||||
(1 in) |
(1 in) |
|
e2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
, 0 x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
inx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ряд Фурье: |
|
|
|
|
|
|
e |
|
e2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
1 in |
|
|
|
|
|
, x 0; 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. Разложить в ряд Фурье на (0; |
2 ) |
функцию |
f (x) |
x . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2. Разложить в ряд Фурье периодическую (T 2 ) функцию |
f (x) , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
cos x, |
2 |
|
2 |
, |
||||||
определенную на |
|
, |
|
|
равенствами f |
(x) |
x |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0, |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.4. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье |
|
|
143 |
||
|
|
|
|
|
|
3. |
Разложить в ряд Фурье на ( , |
) |
f (x) x cos x . |
|
|
4. |
Разложить в интервале (0; ) |
по синусам f (x) |
|
. Полу- |
|
|
|
|
|
4 |
|
ченное разложение использовать для суммирования числовых рядов:
а) |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
... ; б) |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
... . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
5 |
|
7 |
|
5 |
|
7 |
|
11 |
13 |
|
||||||
|
|
5. Дана |
функция f (x) x2 . |
|
Разложить ее в ряд Фурье: |
||||||||||||||
а) |
в |
( ; ) ; |
б) в (0; |
2 ) ; в) в |
(0; |
|
) |
по синусам; г) в интервале |
(0; ) так, чтобы сумма ряда тождественно равнялась нулю для всех x ( ; 0) .
6. Разложить в ряд Фурье f (x) x на [–1; 1].
x, |
0 |
x 1, |
|
1 x 2, |
|
7. Разложить в ряд Фурье f (x) 1, |
||
3 x, |
2 x 3 |
|
|
|
|
на [0; 3].
8.Разложить в ряд Фурье по косинусам f (x) sin
9.Доказать справедливость равенства
x на [0; 2].
2
|
|
|
2 |
|
4 |
( 1)n 1 |
|
|||
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
cos 2nx . |
|
|
|
|
|
4n2 1 |
|
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
10. Представить рядом Фурье в комплексной форме периодиче- |
||||||||||
скую функцию f (x) (T 2 ) , определенную для |
0 x 2 равен- |
ством f (x) ex . Воспользовавшись полученным рядом Фурье в
комплексной форме, записать в действительной форме ряд Фурье этой функции.
11. Разложить в ряд Фурье f (x) (c периодом 2 ) в комплекс-
0, x 0,
ной форме: f (x) xe , 0 x .
12.Разложить в ряд Фурье f (x) сh x на [ ; ] .
13.Разложить в ряд Фурье f (x) sh x на ; .
13.4.ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Теорема 2. Если f (x) : 1) абсолютно интегрируемая на
|
|
|
|
|
|
|
( ; |
) функция, т.е. удовлетворяющая условию |
|
|
f (x) |
|
dx ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2) кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке, то ее интеграл Фурье
144 |
Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье |
|
|
a( ) cos x b( ) sin x d ,
0
где
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
a( ) |
|
|
|
f (t) cos tdt , |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
b( ) |
|
f (t) sin tdt , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен |
f (x) в |
каждой |
точке непрерывности |
|||||||||
|
f (x 0) f (x 0) |
в каждой точке разрыва f (x) . |
||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если f (x) – четная, то |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
a( ) |
|
|
|
f (t) cos tdt , b( ) 0 . |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
(13.11)
(13.12)
(13.13)
f (x) и
(13.14)
Если f (x) – нечетная, то
|
|
2 |
|
|
|
|
a( ) 0 ; |
b( ) |
|
f (t) sin tdt . |
(13.15) |
||
|
||||||
|
|
0 |
|
|
Для представления интегралом Фурье функции, заданной лишь в промежутке [0; ) и продолженной четным образом на
( ; 0) , используем формулы (13.14), а продолженной нечетным образом – формулы (13.15).
Если a( ) и b( ) , найденные по формулам (13.14), подставить в (13.11), то получим двойной интеграл Фурье для четной функции f (x) :
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
cos td f (t) cos tdt . |
|||||||||
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||
Положив |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|||||
(x) |
|
|
|
f (t) cos xtdt , |
||||||
|
|
|
|
|||||||
получим |
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
f (x) |
|
|
(t) cos xtdt . |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
Равенство (13.16) называется |
косинус-преобразованием |
|||||||||
а (13.17) – косинус-преобразованием (x) . |
||||||||||
Аналогично, если f (x) |
– нечетная, то |
(13.16)
(13.17)
f (x) ,
2
(x) f (t) sin xtdt (13.18)
0
13.4. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье |
145 |
|
|
называется синус-преобразованием |
f (x) , а |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
(t) sin xtdt |
(13.19) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
называется синус-преобразованием (x) . |
|
||||||||||||||||||||||
Комплексная форма интеграла Фурье имеет вид |
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c( )ei xd , |
(13.20) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
c( ) |
f (t)e i t dt . |
(13.21) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Связь между a( ), b( ) и c( ) : |
c( ) (a( ) ib( )), |
. |
|||||||||||||||||||||
Функция c( ) называется спектральной характеристикой |
|||||||||||||||||||||||
функции f (x) , |
|
c( ) |
|
называется спектром функции |
f (x) . |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
Функция c( ) называется также преобразованием Фурье |
|||||||||||||||||||||||
функции f (t) , в этом случае ее обычно обозначают |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
F ( ) f (t)e i t dt . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Представить интегралом Фурье функцию |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
|
|
x |
1, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
x |
|
1, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
x |
|
1. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Построим график данной функции (рис. 13.4). |
|
y
1
1/2
–1 |
0 |
1 |
x |
Рис. 13.4
146 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а 13. |
|
|
Ряды Фурье. Интеграл Фурье |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Данная |
|
функция: |
|
|
|
1) имеет |
2 |
|
|
|
точки разрыва |
I |
рода |
(x 1) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
|
|
абсолютно |
|
интегрируема |
|
|
|
|
на |
|
всей |
оси |
Ox: |
|
|
|
f (x) |
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 xdx x2 |
|
|
|
3) функция |
|
– |
четная, |
поэтому |
на основании |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(13.14) |
|
b( ) 0; |
|
|
|
a( ) |
|
|
|
f (t) cos tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
t cos tdt |
|
|
|
|
|
|
cos |
t |
|
|
|
|
sin t |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
1 |
cos |
1 |
|
|
sin |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
( sin cos 1) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Данная |
|
функция |
|
|
является |
|
|
непрерывной в интервалах |
( ; 1) ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(–1; 1); |
(1; ) , кроме того, в точках разрыва среднее арифметиче- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ское односторонних пределов |
функции совпадает со значением ее в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
этих |
|
|
точках, |
|
поэтому |
|
|
|
можно |
|
|
записать |
интеграл |
Фурье |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
|
|
x |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
sin cos 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
cos xd |
0, |
|
|
x |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
x |
1. # |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Показать, |
||||
|
|
|
|
ax |
, x 0 , |
|
ции |
f (x) |
e |
|
|
||
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|
0, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
что спектральной характеристикой функ-
a 0 является функция |
1 |
|
|
c( ) |
|
. По- |
|
a i |
строить график спектра f (x) .
Построим график данной функции (рис. 13.5). y
1
0 |
x |
|
|
|
Рис. 13.5 |
13.4. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье |
147 |
|
|
Найдем c( )
e x(a i ) 0
по формуле (13.21) c( )
|
1 |
e x(a i ) |
|
|
|
|
|
||||
dx |
|
|
|||
|
|
||||
a i |
|||||
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
f (x)e i xdx e axe i xdx
|
0 |
1 . a i
Спектр f (x) – это |
|
c( |
|
. |
|
c( ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
c( ) |
|
(рис. 13.6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Построим график |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| с( ) |
1
а
1
a 2
0 |
a |
|
Рис. 13.6
Задачи для самостоятельного решения
В задачах функции.
14. f (x)
16. f (x)
14 – 17 представить интегралом Фурье следующие
sgn x, |
|
|
x |
|
|
1, |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
x |
|
|
1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos x, |
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
, |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
0, |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.f (x)
17.f (x)
x, x 1,
0, x 1.
x 2, |
2 x 1, |
||||
|
x, |
1 x 1, |
|||
|
|||||
|
x 2, |
|
1 x 2, |
||
|
|
||||
|
0, |
|
x |
|
2. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
18. |
Функцию f (x) e x , 0 x |
представить интегралом |
||
Фурье, продолжая ее: 1) четным образом, |
2) нечетным образом на |
||||
|
|
|
cos x |
||
промежуток ( , 0) . Найти значения интегралов |
|
dx и |
|||
1 x2 |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
x sin x |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
148 |
|
Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье |
|||||
|
|
|
|
|
|||
19. Используя результат задачи 18, представить интегралами |
|||||||
|
f (x) |
1 |
|
2) f (x) |
x |
||
Фурье функции: 1) |
|
|
; |
|
. |
||
1 x2 |
1 x2 |
20.Написать интеграл Фурье в комплексной форме для функ-
ций: 1) f (x) e a x ; 2) f (x) xe a x , (a 0) .
21.Вычислить спектр прямоугольного импульса высотой h и длительностью и построить график спектра (рис. 13.7).
y
R
|
|
|
|
х |
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
Рис. 13.7
22. Записать преобразование Фурье для следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) f (t) e |
|
t |
|
; |
2) f (t) te |
|
t |
|
. |
|
|
|
|
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
sin nx |
, |
0 x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
1 |
|
1 |
cos x |
2 |
|
1 |
|
cos 2x |
|
|
1 |
cos 4x ... ( 1)n 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n n |
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
|
|
|
|
sin x |
2 |
|
|
|
sin nx . |
||||||||||||||
|
2 |
n2 1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
sin(2n 1)x |
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
|
; |
; |
б) |
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
2n 1 |
4 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
cos 2nx ... . |
|
2 |
1 |
||
4n |
|
|
Ответы к задачам главы 13 |
149 |
|
|
5. а)
в)
г) 2
6
1 |
|
|
|
|
( 1)n |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|||||
|
2 4 |
|
|
cos nx ; |
б) |
|
|
2 |
|
cos nx |
|||||||||
3 |
|
n2 |
3 |
|
n2 |
||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||||
4 ( 1)n 1 2 n2 |
sin nx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
cos nx |
|
|
|
|
(( 1) |
|
1) |
|
sin |
||||||
n |
2 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 sin nx ; n
nx .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(2n 1) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 n |
|
1 |
|
2 nx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
(2n 1) |
2 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ( 1)n 1 cos 1 |
|
|
|
|
n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8. |
1 cos 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 n2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
e2 1 |
|
|
1 in |
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
cos nx |
|
|
|
n sin nx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
einx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 n |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 n |
2 |
|
|
|
|
1 n |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ( 1) |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh |
|
|
|
|
( 1) |
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
einx . |
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
|
|
einx . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 in |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
i sh |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
( 1) |
n |
einx . |
|
|
|
|
|
|
14. |
|
2 |
|
|
|
|
1 cos |
sin xd . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
sin |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin xd . |
|
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos xd . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
(1 cos ) sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin xd . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
d ; x 0 ; |
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d ; x 0 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
150 Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
|
cos x |
|
|
|
|
x sin x |
|
|
|
|
|
dx |
|
; |
|
|
dx |
|
. |
1 x2 |
2e |
1 x2 |
2e |
||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. 1) |
e cos xd ; |
2) |
e sin xd . |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
||||||
20. |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei x d ; |
2) i |
|
|
||||||||
|
|
|
a2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| C( ) | |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
h |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
21. |
|
c( ) |
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
22. |
1) |
|
|
2 |
|
; |
2) |
4i |
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 2 |
|
(1 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei xd . |
|
|
|
|
||
a2 |
2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
Г Л А В А 14
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
14.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВОЙНОГО И ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛОВ
|
Пусть: 1) |
в |
|
ограниченной |
|
замкнутой |
области |
E Rm |
|||
x1, x2 , ... xm |
«объема» V(E) |
задана |
ограниченная |
функция |
|||||||
f (x1, x2 , ..., x m ) ; 2) |
E1, E2 , ..., En – разбиение области |
E n Ei |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
на подобласти |
Ei |
с объемами |
Ei |
(V (E) Ei ) и диаметрами |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
di , |
|
sup di |
|
|
|
|
|
||||
d |
– |
диаметр |
разбиения; |
3) |
зафиксируем точки |
||||||
M ( 1i , i2 , ..., im ) Ei , |
i 1, 2, ..., n ; 4) построим интегральную сумму |
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In f (Mi ) Ei . |
|
|
|
i 1
Определение. Конечный предел I интегральной суммы In при
d 0 , не зависящий ни от способа разбиения области E, ни от выбора точек Mi , называется m-кратным интегралом от функции f по
области E и обозначается
I ... f (x1, x2 , ..., xm )dE
|
|
E |
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
I ... f (x1, x2 , ..., xm )dx1dx2...dxm . |
(14.1) |
||||
|
|
E |
|
|
||
Таким образом, по определению |
|
|
||||
|
|
|
|
|
n |
|
I ... |
f (x1, x2 |
, ..., xm )dE lim |
f ( 1i , i2 , ..., im ) Ei . |
(14.2) |
||
E |
|
n |
i 1 |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
(d 0) |
|
В этом случае функция f (x1, ..., xm ) называется интегрируемой в E.
При m = 2 |
(m = 3) для ограниченной функции f в замкнутой |
|
области S R2 |
(x, y) |
(V R3 ( x, y, z) ) кратный интеграл |
(14.1) называется двойным |
(тройным) интегралом, а соответст- |