dolgih

Добавил:

borisow03 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

(2n 2)(2n 1)2n 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.01.2019

Размер:

11.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

132																		Г л а в а 12.																Функциональные ряды

Продифференцируем ряд (12.12) дважды:
y C 2C x 3C x2									... nC xn 1										(n 1)C																xn (n 2)C									xn 1		...
	1	2				3								n																n 1											n 2
	y 2C		2 3C x ... n(n 1)C xn 2																										(n 1)nC										xn 1
		2					3																n														n 1
									(n 2)(n 1)C																xn ... .																				(12.13)
																					n 2
Подставим в уравнение вместо																		y и					y			соответственно ряды (12.12)
и (12.13):
2C 2 3C x ... (n 1)nC xn 2														n(n 1)C													xn 1 (n 1)(n 2)C																		xn ...
2	3										n													n 1																		n 2
	xC x2C x3C										... C								xn 1 C													xn C xn 1 ... 0
	0			1						2								n 2											n 1								n
или
2С x(2 3C C ) x2 (3 4C C ) ... xn 1(n(n 1)C																																										C				)
	2		3				0							4					1																				n 1						n 2
					xn ((n 1)(n 2)C																			C						) ... 0 .
																			n 2								n 1
	Приравнивая коэффициенты при всех степенях x к																																									нулю, по-
лучаем: С		0;		C					C0		; C						C1			;		C						C2						0 .
лучаем: С		0;		C							; C									;		C												0 .
	2			3					2 3			4					3 4							5				4 5
									2 3								3 4											4 5
	5 6C C 0 C															C3										C0						,
	5 6C C 0 C																															,
		6		3								6				5 6							2 3 5 6
																5 6							2 3 5 6
	6 7C C 0 C														C4											C1							и т.д.
	6 7C C 0 C																																и т.д.
		7		4								7		6				7				3 4 6 7
														6				7				3 4 6 7
	y C	C x						C0		x3			C1					x4							C0							x6					C1			x7			...
	y C	C x								x3								x4														x6								x7			...
	0		1				2		3				3 4								2 3 5 6															3 4 6 7
							2		3				3 4								2 3 5 6															3 4 6 7
					x	3					x	6																				x		4			x	7
						3						6																						4				7
	y C0 1														... C1											x																... .
	y C0 1				2										... C1											x					3				4		3 4 6 7					... .
					2		3		2	3 5 6																					3				4		3 4 6 7

	Пример.		Применяя метод последовательных дифференциро-

ваний, найти 5 членов разложения в ряд решения							дифференциаль-
ного уравнения
y ( y )2 xy при начальных условиях					y(0) 4; y (0) 2 .
Точка x = 0 не является особой точкой данного дифференци-
ального уравнения, поэтому решение можно искать в виде
	y (0)		y (0)		yIV
y y(0) y (0)x		x2		x3		x4 ...		(12.14)
y y(0) y (0)x	2!	x2	3!	x3	4!	x4 ...		(12.14)
	2!		3!		4!
(разложение в окрестности x = 0!). Здесь y(0) 4;							y (0) 2 .
Из уравнения y (0) ( y (0))2 0 y(0) ( 2)2							4 .
Из уравнения y 2y y y xy

y (0) 2( 2) 4 4 0 ( 2) 12 ,

12.6. Приложения степенных рядов								133

yIV 2( y )2	2y y 2y xy ,
yIV 2 42 2( 2)( 12) 2( 2) 0 4 76 .
Подставим в (12.14) y(0),	y (0),		y (0),					y (0), yIV (0) :
y 4 2x	4	x2	12	x3			76		x4 ...

	2!		3!					4!
или
y 4 2x 2x2 2x3					19	x4 ... .

			6
Задачи для самостоятельного решения

57. Вычислить приближенное значение								3 e , взяв 3 члена раз-

ложения в ряд Маклорена функции f (x) ex , оценить погрешность.

58. Вычислить приближенное значение sin18 , взяв 3 члена разложения в ряд Маклорена функции f (x) sin x , оценить погрешность.

Вычислить приближенно с указанной степенью точности .

	1	; 0,0001.
59.	1		60. cos10 ; 0,0001.	61. 3 80; 0, 001.
59.	e		60. cos10 ; 0,0001.	61. 3 80; 0, 001.
	e
62.	4 90; 0,001.		63. ln 5; 0,001.	64. ; 0,00001.

Следующие интегралы вычислить с точностью до 0,001.

65.

67.

69.

1/ 4				1/ 2
e x2 dx.				66.	1 x3 dx .
0				0
1/ 2	ln(1 x2 )			4
				4
			dx.	68. e1/ x dx .
	x	2	dx.	68. e1/ x dx .

0	2

/ 4

Вычислить приближенно cosx x dx , взяв 3 первых члена

/ 6

разложения подынтегральной функции в ряд. Оценить погрешность. 70. Найти 6 первых членов разложения в степенной ряд реше-

ния дифференциального уравнения y (1 x2 ) y 0 , удовлетворяющего начальным условиям: y(0) 2; y (0) 2 .

71. Записать в виде степенного ряда частное решение дифференциального уравнения y xy y 1 0; y(0) 0; y (0) 0 .

Записать в виде степенного ряда общее решение дифференциального уравнения.

72. y xy x2 y 0 (шесть первых членов)

73.	y x2 y 0 .	74. (1 x2 ) y y 0 .
75.	Найти 3 члена разложения в ряд частного решения урав-
нения y xy ln( y x);		y(1) 0.

134						Г л а в а 12.				Функциональные ряды

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 12
1. [–1; 1].	2. (–1; 1).			3. ( ;		) .	4. (–2; 2).					5. (0; ) .
6. x 1.		1		1				1		1
	7.		;		. 8.	{0}.	9.		;		.	10. [ 1; 1) .
	7.		;		. 8.	{0}.	9.		;		.	10. [ 1; 1) .
		10		10				3		3

		1			1
11.				;		.

		e			e
	5				3
15.			;			.

	2				2

		1
12. (0; + ) . 13. [–6; –4].	14. ( ; 1)		; .
12. (0; + ) . 13. [–6; –4].	14. ( ; 1)		; .
		3

		8
16. ( ; + ) .	17. ( ; 2)		; .
16. ( ; + ) .	17. ( ; 2)		; .
		5

									2									x k						Z.
									2
18.					k;							k			,	k Z . 19.						, k
18.					k;							k			,	k Z . 19.						, k
			3					3													4
			3					3													4
25.		1		arctg x						1	ln		1 x		.	26.	(x 1) ln(x 1) x.
25.				arctg x							ln				.	26.	(x 1) ln(x 1) x.
	2							4					1 x
27.					9		,		\| x \| 3.							28.	16			,	\| x \| 2.

		(x 3)2																(2 x)3
		(x 3)2																(2 x)3
				x3		x4		1						1 x					5x2		2x 1
29.											ln					2arctg x .	30.								, \| x \| 1.
29.											ln			1 x		2arctg x .	30.				x)		3		, \| x \| 1.
			4				16							1 x						(1	x)

31. а)	1
		ln 2										.
	3	ln 2										.
	3						3
		( 1)n xn
33.								,			\| x
33.		2	n 1					,			\| x
n 0		2
n 0
		( 1)n xn
35.									,		\| x
35.		2	n	n!					,		\| x
n 0		2		n!
n 0
		( 1)			n		2n						2n
37.		( 1)				5				x
n 0				(2n)!
n 0

	1

б)			ln 1	2	.
	2

		2			2

| 2.

34.

1 x 1.

n 0

x2n 1

| .

36.

, | x | .

n 0

(2n 1)!

(2n 1)!!

x2n 1

, | x | .

38.

| x | 1.

(2n)!!

(2n 1)

n 1

Ответы к задачам главы 12

135

40.

(4x)

( 1)n 1,

41.

( 1)

x2n ,

(2n)!

n 1

n 0

n 1

42.

43. 2 3n x2n ,

(n 1)!

n 0

( 1)n1 6 11...(5n 4)

44. 1

xn .

n 1

5 n!

( 1)

n 1

45.

( 1)

, 1 x 1.

n 1

46.

( 1)

1 4 7...(3n

x2n 2 ,

n 1

( 1)n 1(x 1)n

47. 7

48.

, 0 x 2 .

n 1

n 0

n 1

x 2

n 1

(2n

3)!!

49.

( 1)

(x 2)n , 0

x 4 .

4n n!

n 2

50.

51.

52.

53.

( 1)n ( x 2)n, 3 x 1 .

n 0

( 1)n (2n 1)!!

(x 3)n ,

4 x 2 .

n 1

2n 1

sin

(n 1)

n 1

(x 1)n , 1 x 3 .

n 1

54. 6 3n

n 0

1			(x 2)	n	,	5 x 1.

10	5	n

55.

( 1)

(x 1)2n , 0 x 2 .

n 1

3 ( x 1)

56.

57. 1,39, = 0,01.

n 0

58. 0,3090, = 0,0001. 59. 0,3679. 60. 0,9848. 61. 4,309.

62. 3,079. 63. 1,609. 64. 3,14159. 65. 0,245. 66. 0,508.

136																												Г л а в а 12.								Функциональные ряды

67.	0,481.										68. 2,835.												69. 0,3230,									= 0,0001.
70.	2 2x x2															x3				x4			7				x5 ... .
70.	2 2x x2																										x5 ... .
														3						4			60
		x2			x4							3x6					5x8								(2n 1)x2n 2
71.																					...												... .
71.	2			4!									6!					8!			...						(2n			2)!			... .
	2			4!									6!					8!									(2n			2)!
							x		4															x	3			3x	5
									4																3				5
72.	C1		1									... C2								x										... .
72.	C1		1									... C2								x										... .
						12																	6			40
																				x4n
73. C0			1
73. C0			1									(3 4)(7 8)...(4n 1)4n
												(3 4)(7 8)...(4n 1)4n
						n 1
																						x4n 1
	C1 x																														.
	C1 x													(4 5)(8 9)...(4n)(4n																	.
														(4 5)(8 9)...(4n)(4n																1)
										n 1
								x		2					1 1 2								(1 1 2)(1 3 4)
										2
74.	C0 1																		x4															x6		...
74.	C0 1																		x4															x6		...
						2!								4!												6!
											x		3			1 2 3										1 2 3				1 4 5
	+ C1			x							x					1 2 3						x5													x7		... .
	+ C1			x																		x5													x7		... .
											3!							5!												7!
75.		(x 1)2									(x 1)3									(x 1)4						... .
75.			2											6						6						... .
			2											6						6

Г Л А В А 13

РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

13.1.ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ (ОТС)

Пусть на [a; b] заданы функции f(x) и (x) такие, что f (x) (x) – интегрируемая на [a; b] функция. Функции f(x) и (x)

называются ортогональными на [a; b], если

f (x)(x)dx 0 .

Бесконечная система функций

1(x), 2 (x),...,

n (x),...

(13.1)

называется

ортогональной

на

[a,

b],

если (m, n)(m n)

m (x) n (x)dx 0

и m2 (x)dx 0 . Эти функции попарно орто-

гональны на [a; b].

Примеры ортогональных систем:

а) основная тригонометрическая система (ОТС):

1, cosx,

sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx,…

(13.2)

ортогональна на [ ; ];

б) система функций:

sinx, sin2x,…, sinnx,…

(13.3)

ортогональна на [0; ] ;

в) тригонометрическая система (ТС):

1,cos x ,

sin x , cos

sin

,...,

cos

n x

, sin

n x

,...

(13.4)

ортогональна на [l;

l] .

138	Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье

13.2. РЯД ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ

Пусть задана произвольная, ортогональная на [a; b] система функций (13.1).

Ряд


С1 1(x) C2 2 (x) ... Cn n (x) ... Cn n (x)			(13.5)
		n 1
называется рядом Фурье для функции f(x) по системе (13.1), если
	b
	f (x) m (x)dx
С	a	,	(13.6)
С	b	,	(13.6)
m	b

2m (x)dx

Cm , вычисленные по формуле (13.6), называются коэффициентами Фурье.

13.3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

а) Ряд Фурье по ТС (13.4)

Теорема 1 (Дирихле). Если f (x) – периодическая функция с Т = 2l, кусочно-гладкая на ( l; l) (на этом интервале f(x) и f (x)

имеют не более конечного числа точек разрыва, притом лишь пер-

вого рода), то тригонометрический ряд Фурье по ТС (13.4) для f(x)

n x

an cos

bn sin

(13.7)

n 1

1 l

n x

где

f (x)dx; a

f (x) cos

dx;

1 l

n x

f (x) sin

dx ; n = 1, 2, 3

сходится к f (x), если

x – точка

непрерывности

f (x 0) f (x 0)

, если x – точка разрыва f (x), где f (x 0)

соответственно левый и правый пределы f (x) в точке x:

n x

an cos

bn sin

n 1

(13.8)

f (x) и к и f (x 0) –

a0 , an , bn

f (x), если x точка непрерывностиf (x ),
	f (x 0)
f (x 0)		, если x точка разрываf (x ),


	2

– называются коэффициентами Фурье.

13.3. Тригонометрические ряды Фурье	139

Функция F (x) , совпадающая с	f (x) в ( l; l) и удовлетво-

ряющая условию x F(x 2l) F(x) , называется периодическим продолжением f (x) на всю ось Ox.

В ряд Фурье можно разложить и непериодическую кусочногладкую функцию, заданную лишь в интервале ( l; l) , вычисляя

коэффициенты a0 , an , bn по формулам (13.8). Полученный ряд будет сходиться на всей числовой оси, а его суммой будет F (x) – периодическое продолжение f (x) на ось Ox.

При вычислении коэффициентов Фурье в формулах (13.8) интервал интегрирования ( l; l) можно заменить любым интервалом

(a; a 2l) длины 2l.

б) Неполные ряды Фурье

Если f (x) – четная функция, то

2 l

n x

f (x)dx;

f (x) cos

dx; b

0 .

(13.9)

n x

Ряд Фурье примет вид:

an cos

n 1

Если f (x) – нечетная функция, то

2 l

a0 an 0; bn l f (x) sin

	0
		n x
и ряд Фурье принимает вид bn sin		n x	.
и ряд Фурье принимает вид bn sin			.
n 1		l
n 1

nx dx ,	(13.10)
l

в) Функцию f (x) , кусочно-гладкую в интервале (0; l) , можно разложить в ряд Фурье только по косинусам или по синусам. Для этого достаточно продолжить f (x) четным или соответственно нечетным образом на интервал ( l; 0) и для полученной на ( l; l)

функции составить ряд Фурье. Коэффициенты Фурье будут при этом вычисляться по формулам соответственно (13.9) или (13.10).

г) Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье для f (x) , периодической с Т = 2l, а также для f (x) , заданной на ( l; l) , имеет вид

n x

f (x)e i

n x

cnei

dx .

Связь между a0 , an ,

и cn следующая:

c0 a0 ; cn an ibn ; an Re cn ;

bn Im cn .

140	Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом T 2 )
	C , x 0,
функцию	f (x) , определенную равенствами: f (x) 1
	C2 , 0 x .

Начертим график заданной функции (рис. 13.1).

– 2

–

Рис. 13.1

f (x) является

кусочно-гладкой

на

( ;

) ,

периодической с

T 2l 2 . Ряд Фурье будет иметь вид:

an cos nx bn sin nx ;

n 1

f (x)dx

C1dx C2dx

C2 ;

f (x) cos nxdx

C1 cos nxdx C2 cos nxdx

1 C

sin nx

0 ;

f (x) sin nxdx

C1 sin nxdx C2 sin nxdx

C C cos n C cos n C

cos nx

C2 C1

C2 C1 (C2

C1)( 1)n

(1 ( 1)n ) .

Запишем ряд Фурье:

1 ( 1)n

C ,

x 0,

С С

sin nx C2 ,

0 x ,

n 1

C C

, x 0;

13.3. Тригонометрические ряды Фурье	141

(сумма ряда записана в соответствии с теоремой 1: в точках непрерывности f (x) ряд Фурье сходится к f (x) , а в точках разрыва f (x) – к среднему арифметическому односторонних пределов f (x) в этих точках).

Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам f (x) sin 2x на

отрезке [0, 2].

Продолжим f (x) четным образом на [–2, 0], а затем построим периодическое продолжение функции, заданной на [–2, 2] на всю ось Ox (рис. 13.2).

1–

–6

-4

–2

Рис. 13.2

Получим непрерывную на ( ,

) функцию;

l = 2.

n x

Ряд Фурье имеет вид:

an cos

;

n 1

2 l

f (x)dx

2 sin

dx 2 cos

2(cos1 1) ;

2 l

f (x) cos

n x

sin

cos

n x

cos

1 n

cos

1 n

2(1 n)

cos(1 n )

1 n

cos1 ( 1)n

2 2( 1)n cos1

1 n

n2 2

1 n

1 ( 1)n

cos 1

n x

Ряд Фурье:

cos 1 1 2

cos

sin

, 0

x 2 .

1 n2 2

n 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
23.01.20191.28 Mб18Bilety_Matematichesky_Analiz_Reznikov_B_S.pdf
#
23.01.2019921.09 Кб13Bilety_po_matanu_tolko_praktika.doc
#
23.01.201911.21 Mб30dolgih.pdf