- •Остальные аналогично.
- •Остальные аналогично.
- •Вопрос 9.
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13. Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
- •Вопрос 14. Достаточное условие локального экстремума.
- •Вопрос 15. Понятие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума.
- •Вопрос 16 Достат. Усл-я условного экстремума.
- •Вопрос 17.
- •Вопрос 18
- •Вопрос19
- •Вопрос 20
- •Вопрос 22
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25. Геометрические приложения двойных интегралов а) вычисление площадей б) вычисление объемов в) вычисление площадей поверхностей
- •Вопрос 26. Тройной интеграл. Переход к повторному интегралу (без д-ва). Замена переменных (без д-ва), цилиндрич. И сферич. Система координат.
- •Вопрос 28. Криволинейный интеграл 2-го рода; его свойства.
- •Вопрос 30. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •Вопрос 34. Ортогональная тригонометрическая система. Ряд Фурье для абсолютно интегрируемой на [-;] ф-ции; ряд Фурье для четной и нечетной ф-ции. Ряд Фурье в случае произвольного интервала.
Вопрос 22
Двойной интеграл. Теорема об интегрируемости непрерывной функции двух переменных (без доказательства). Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем.
z = f(x,y) , (x,y) G, где G – замкнутая область.
- частичная обл.
- площади обл. .
- интегральная сумма.
Опр.Диаметром частичной области называется максимальная длина хорды этой частичной области.
Если, не зависящий от разбиения области G и от выбора промежуточных точек , то этот предел называется двойным интегралом функции f(x,y) по области G.,
Теорема(об интегрируемости непрерывной функции двух переменных) Пусть f(x,y) непрерывна в области G. Тогда она интегрируема в этой области, т.е.
Свойства двойного интеграла.
1о. Аддитивность.Если функция f(x,y) интегрируема в области G и если область G при помощи кривой T площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области G1 и G2, то функция f(x,y) интегрируема в каждой из областей G1 и G2, причём
2о. Линейное свойство.Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области G, а и - любые вещественные числа, то функция также интегрируема в области G, причём
.
3о. Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области G, то и производные этих функций интегрируемы в G.
4о. Если f(x,y) и g(x,y) обе интегрируемы в области G и всюду в этой области f(x,y) ≤ g(x,y), то
.
5о. Если функция f(x,y) интегрируема в области G, то и функция |f(x,y)| интегрируема в области G, причём .
Теорема о среднем значении.Если обе функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области G, функция g(x,y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m – точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x,y) в области G, то найдётся число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула
.
В частности, если функция непрерывна в G, а область G связна, то в этой области найдётся такая точка (ξ,η) что μ=f(ξ,η), и формула принимает вид
.
Интеграл равен площади области G.
Вопрос № 23
Приведение двойного интеграла к повторному (а) случай прямоугольной области, б) случай области более общего вида). Двойной интеграл в полярных координатах.
а) случай прямоугольной области
Теорема Пусть для функции f(x,y) в прямоугольнике существует двойной интеграл .Пусть далее для каждого x из сегмента существует однократный интеграл .Тогда существует повторный интеграл и справедливо равенство .
Доказательство.
Разберём прямоугольник R с помощью точек и на n·p частичных прямоугольников (k=1,…,n;l=1,…,p).
Положим , и обозначим через и точные грани функции f(x,y) на частичном прямоугольнике .
Тогда всюду на этом прямоугольнике .
Положим в этом неравенстве , где - произвольная точка сегмента , и после этого проинтегрируем по y в пределах от до . Получим . (1)
Суммируя (1) по всем от 1 до p и используя обозначение , будем иметь . (2)
Далее умножим (2) на и просуммируем по всем k от 1 до n. Получим . (3)
Пусть наибольший диаметр частичных прямоугольников стремится к нулю. Тогда наибольшая из длин стремится к нулю. Обрамляющие члены в (3), представляющие собой нижнюю и верхнюю суммы, стремятся при этом к двойному интегралу . Стало быть, существует предел и среднего члена в (3), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по определению однократного интеграла равен . Тем самым доказано существование повторного интеграла и равенство . Теорема доказана.
б) случай области более общего вида
Теорема
Пусть выполнены следующие условия:
1) область D ограничена, замкнута и такова, что любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает границу этой области не более чем в двух точках, ординаты которых и , где ;
2) функция f(x,y) допускает существование двойного интеграла и существование для любого x однократного интеграла .
При этих условиях существует повторный интеграл
( и - наименьшая и наибольшая
абсциссы точек области D)
и справедливо равенство .
Доказательство.
Обозначим через R прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, содержащий область D, а через F(x,y) – функцию, совпадающую с f(x,y) в точках области D и равную нулю в остальных точках R. Для функции F(x,y) выполнены в прямоугольнике R все условия теоремы, и, стало быть, справедлива формула , которая (с учётом того, что F(x,y) равна нулю вне D и совпадает с f(x,y) в D) переходит в формулу .
Двойной интеграл в полярных координатах.