7(1). Предел числовой послед-ти.

Опр1.Числовая послед-ть - ф-ция,за­д. на мн-ве нат. чисел: Обознач-е: Пр.{1, 2, 3,..., 1000} - не послед-ть, (должно быть счетное число членов); - послед-ть т.к. ее члены можно переобозначить:

Опр2.

Опр3. Интервал назовем -окрестностью точки а и обозначим .

Геом.смысл предела послед-ти. Число а явл. пределом послед-ти , для про­извольно малой окрестности точки а найдется номер, начиная с кот. все члены послед-ти попадают в указ. окрестность.

Опр4. Если предел послед-ти сущ-ет и ко­нечен, послед-ть наз-ся сходящейся.

Опр5.

Т1.Если послед. имеет предел, то он единственный.

Т2. Сходящаяся послед-ть ограничена.

Опр6. Если из послед-ти удалить конечное или бесконечное число ее членов так, что останется бесконечно много членов, то оставшаяся часть образует послед-ть, наз-мую подпо­след-тью исходной послед-ти. Обознач.: ,

Т3. Всякая подпослед-ть сходящейся послед-ти сходится к пределу послед-ти.

Опр7. Послед-ть наз. бесконечно малой (б.м.), если ее предел равен нулю.

Сумма конечного числа б.м. , произведение б.м. на огранич-ю, про­извед-е любого числа б.м. явл. б.м.

Лемма:

Т4. ] , . Тогда предел суммы,

разности и произвед. послед-тей и равен соот­в-но сумме, разности и произведению их пределов. Если, все ≠0, то предел равен .

По лемме где и - б.м.

1) При этом , где -б.м., и по лемме получаем: .

2) Покажем, что , вновь используя лемму:

докажем, что последнее слагаемое →0 с ро­стом п.

1-ый множитель в нем явл. б. м. велич.

Докажем, что второй множитель ограничен. Действит., т.к. при .

При этом по св-ву модулей , т.е. что и означ. огр-ть этой велич.

Сис-ма отрез. наз. Сис-ма вложенных отрез., если

Сис-ма стягивающихся отрез.- послед. вложенных отрез., длины кот. →0 с ростом номера.

T Кантора: Всякая сис-ма стягивающихся отрезков имеет единственную об­щую точку.

Принцип Кантора: Всякая сис-ма вложенных отрезков имеет непустое пересечение.

Т Больцано – Вейерштрасса: Из всякой огранич. по­след-ти можно выделить сходящ. подпослед-ть. 1. Пусть ограничена, т.е. есть отрезок , содержащий после­д-ть. Разделим этот отрезок пополам и обозначим через ту его часть, кот. содерж.бесконечно много членов (она есть, т.к. иначе на лежало бы конечное число членов послед-ти). Отрезок разделим пополам и

обозначим через ту его часть, кот. содержит бесконечно много членов . Продолжим процесс неогр-но. Получ.стягивающуюся сис-му отрезков

Длина отрезка ,на каждом из кот. им-ся бесконечно много членов послед-ти . По T. Кантора указанная сис-ма отрезков имеет един­ственную общую точку. Обозначим ее ξ.

На выберем произв. образом точку

На выберем с ном., большим . Это можно сделать, т.к. на беск. много точек из .

Продолжим процесс. На k-м шаге на выберем с номером .Продолжим процесс неограниченно. Т.о., построили некоторую подпослед-ть послед-ти . Отрезок содержит и т.ξ, и т. , т.е. . имеет пределом точку ξ . .

Опр8. Послед-ть {х_п} наз. фундамен­тальной, если

Любая фунд. послед-ть огр-на.

Критерий Коши сходимости послед-ти. Для сход-ти послед-ти необходимо и достаточно, чтобы она была фунд-ной.