Задача №5 (Схема №3)

Трехступенчатый стальной брус, нагружен силами F₁ и F₂. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение (укорочение) бруса, приняв Е = 2∙10⁵ МПа.

F₁ F₁ F₁ F₁

N₂

N₄

N₃

N₁

F₂

F₂

ІV

ІІІ

ІІ

І

12

133

2

4, 69

7, 5

22

N, кН

Ϭ,МПа

∆, м l∙10^-5

Доно

F₁=12кН; F₁=10кН; А₁=0,9 см; А₂=2,4 см ; А₃=3,2 см; Е=2∙10^-5м

Решение

Пользуясь методой сечений, определим продольную силу на каждом участке.

Определяем ординаты эпюры N на участках бруса

N_I= F₁ = 12000 Н (брус растянут).

N_II = F₁ = 12000 Н (брус растянут)

N_III = F1 - F₂ = 12000 - 10000 = 2000Н (брус растянут)

N_IV = F₁ - F₂ = 12000 - 10000 = 2000Н (брус растянут)

где А – площадь поперечного сечения бруса на соответствующем участке.

Строим эпюру продольных сил

Вычисляем ординаты эпюры нормальных напряжений на каждом из участков бруса:

ϭ _ІV = 6,25МПа

Строим эпюры нормальных напряжений.

4. Определяем перемещение свободного конца бруса

Удлинение ( укорочение ) стержня определяется по формуле Гука .

∆l=∆l₁+∆l₂+∆l₃

∆l₁ = ϭ = 99,75 ∙10^-5м

∆l₂ == ϭ= 15∙10^-5м

∆l₃ == ϭ= 2,81∙10^-5м

∆l₄ == ϭ= 4,69∙10^-5м

∆l₃+∆l₄ = 7,5 ∙ 10^-5 м

∆l₂+∆l₃ =7,5+15=22,5∙ 10^-5 м

∆l₂+∆l₁ =22,5+99,75=122,25∙ 10^-5 м

∆l= (99,75 + 15 + 2,81+4,69) ∙ 10^-5= 122,25∙ 10^-5 м

Брус удлинился на 0,122мм

.

Задача №5 (Схема №3)

Условие: Для стального вала постоянного поперечного сечения с одним зубчатым колесом передающего мощность Р кВт, при угловой скорости ω рад/с

а)определить вертикальные и горизонтальные составляющие реакции подшипников.

б) Построить эпюру крутящих моментов.

в) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной, горизонтальной , плоскостях и суммарных.

г) Определить диаметр d вала, полагая F_r=0,4F_t. Расчет производить по гипотезе потенциальной энергии формоизменения.

Дано: Р= 24 кВт, ω=32 рад/с [σ]= 70МПа

F_t2

d

F_t1

D=12см

D=33см

F_t2

0,1

0, 15

0,1

F_r1

R=0,06

R=0,165

F_t1

F_r1

F_t2

F_t2

R _By

R _Bx

R _By

R _Bx

R _Ax

R _Ay

R _Ay

R _Ax

F_t1

F_t2

Z₃

Z₁

Z₂

Z₃

Z₁

Z₂

Решение: Освободим вал от связей и заменим связи реакциями.

Выбираем пространственную систему координат в точке В,

так чтобы ось х располагалась по оси вала, ось у была параллельно F_t, а ось z параллельна F_r

T=P/ω=24000/32=750 Н∙м

Ft₁=2T/d=2P/d∙ ω= 12500 Н

F_r1=0, 36Ft=0, 36∙12500=4500 Н

Ft₂=2T/d = 4545, 45Н

F_r2=0, 36Ft=0, 36∙4545, 45=1636, 36 Н

Составим уравнения равновесия проекций сил на оси координат и моментов сил относительно оси.

R_{Вy ∙} 0, 25 - F_r1 ∙0, 1 - F_r2 ∙0, 35 =0

F_r1 ∙0, 15 - R_{Аy ∙} 0,25 - F_{r2 ∙}0,1_-=0

R_Вy = = = 4090, 92 Н

R_Аy = = =2045, 44 Н

Проверка:

R_Аy - F_r1 +R_Вy- F_r2=0

2045, 44 - 4500 + 4090, 92 - 1636, 36 = 0

R_{Вx ∙} 0, 25 – F_t1 ∙0, 1 – F_t2 ∙0, 35=0

F_t1 ∙0, 15- R_{Аx ∙} 0,25 – F_{t2 ∙}0,1_-=0

R_Вx = = = - 1363, 63 Н

R_Аx = = = 9318, 18 Н

Проверка:

R_Аx - Fr1 +R_Вx - F_r2=0

9318, 18 - 12500 – 1363,63+4545,45 = 0

R_A = √R_Ax² + R_Ay² = √9318, 182 + 2045, 44² = 9540, 04 Н

R_B = √R_Bx² + R_By² = √1363, 182 + 4090, 92² = 4312, 20 Н

Строим эпюры изгибающих моментов в вертикальной плоскости :

My₁ = R_{A x}·z₁

при z₁ = 0 M₁ = 0 Н∙м

при z₁ = 0,1 M₁ = 931,818 Н∙м

My₂ = Ft₂ ·z₂

при z₁ = 0

при z₁ = 0,1

My₂ = 0 Н∙м

My₂ = 4545, 45∙ 0,1= 454,545 Н∙м

My₃ = R_Ax · z₃ - Ft₁·(z₃ – z₁ )

при z₁ = 0 при z₃ =0,1 My₃ = 9318,18 ∙ 0,1= 931,818 Н∙м

при z₁ = 0,1 при z₃ = 0,25

My_{3 =} 9318,18 ∙ 0,25 - 12500 ∙(0,25-0,1)= 454,545 Н∙м

M _y ( Н∙м)

І 932 І І І І І

455

0 0

M x₁ = R_{A y}·z₁

при z₁ = 0 M₁ = 0 Н∙м

при z₁ = 0,1 M₁ = 204,54 Н∙м

M x₂ = - Fr₂ ·z₂

при z₁ = 0

при z₁ = 0,1

M x₂ = 0 Н∙м

M x₂ = - 1636, 362∙ 0, 1= - 163, 64 Н∙м

M x₃ = R _Ay · z ₃ - Fr₁· (z₃ – z₁)

при z₁ = 0 при z₃ =0,1 M x₃ = 2045,44 ∙ 0,1= 204,54 Н∙м

при z₁ = 0,1 при z₃ = 0,25

M x₃ = 2045,44 ∙ 0,25 - 4500 ∙(0,25-0,1)= - 163,64 Н∙м

M _X ( Н∙м)

204, 5

0 0

-163, 64

Cтроим эпюру изгибающих моментов

M_U = √M_x² + M_y²

M_U1 = √ (-163, 64)² + 454,54² = 483, 099( Н∙м)

M_U2= √204, 54² + 931, 8182 = 954, 002( Н∙м)

M_U , Н∙м

954

483

1. 0

Строим эпюру крутящих моментов0

Т, Н∙м

750

T=F_t1 ∙d1/2 = 1255∙0, 06 =7 50 Н∙м

T=F_t2 ∙d2/2 = 4545/45∙0,165 = 750 Н∙м

Диаметр d вала определим по гипотезе потенциальной энергии формоизменения.(5 гипотеза прочности)

M_Э=√ M_U²+ 0,75∙T² = √ 954,002 ²+ 0,75∙750² = 1154,12 Н∙м

d=³√ (M_Э/0,1∙[σ])= ³√ (1154,12 /0,1∙70) = 0,55 м

ОТВЕТ:

R_Вx = - 1363, 63 Н R_Аx = 9318, 18 Н

R_Вy = 4090, 92 Н R_Аy =2045, 44 Н

Т =750 Н∙м

M_Э=1154,12 Н∙м

d = 0, 55 м