1)Сформулировать понятие множества. Изложить действия над множествами, разъяснить их суть и перечислить их свойства.

Под множеством понимается совокупность элементов, характеризуемых общим признаком. А={a,b,c,…,x,y,z} Два множества А и В считаются равными, если состоят из одних и тех же элементов. Порядок следования элементов в сравниваемых множествах значения не имеет.

Два множества А и В считаются не равными, если они отличаются по значению хотя бы одного элемента. Объединением двух множеств является третье множество, содержащее элементы обоих множеств. Пересечение множеств Пересечением двух множеств является третье множество, которое содержит элементы, входящие одновременно в оба множества. Разность множеств Разностью двух множеств является третье множество, которое содержит элементы первого множества, не входящие во второе множество.

2)Определить основные элементы математической логики. Записать формулы логики, сформулировать законы алгебраической логики.

Высказывание – утверждение, о котором имеет смысл говорить ложно оно или нет .

Законы математической логики

1. Закон исключённого третьего – всякое высказывание является либо ложным или истинным.

2. Закон противоречия – никогда высказывание одновременно не может быть истинным и ложным. 3. Закон отрицания отрицательного – двойное отрицание истинно тогда и только тогда, когда истинно само высказывание. Операции над высказываниями:

Дизъюнкция - логическое «ИЛИ» (V)

Правило: результат равен , если все операнды равны ; во всех остальных случаях результат равен

Конъюнкция - логическое "И"(&)

Правило: результат равен , если все операнды равны ; во всех остальных случаях результат равен.

Импликация – посылка, следствие.(=>)

Правило: Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация — это сокращённая запись для выражения

Эквиваленция - двуместная логическая операция. Обычно обозначается символом ≡ или ↔

Таким образом, высказывание A ≡ B означает «A то же самое, что B», «A эквивалентно B», «A тогда и только тогда, когда B».

3) Изложить принцип математической индукции. Определить шаги индукции. Раскрыть сущность метода математической индукции.

Метод математической индукции- это метод рассуждения который ведет от частного случая к общему называется индуктивным. Принцип: Если предложение А(n), n€N истинно n=n₀ (n=1) и из того, что оно истинно для n=k (\-/k€N), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предложение A(n)- и \-/n€N истинно для любого натурального числа N. Шаги индукции: 1.базис n=n₀ (n=1) 2.предположение n=k: A(k)-и 3. доказательство n=k+1 A(k)=>A(k+1) n=>и

4. Сформулировать теорему и записать формулу бинома Ньютона. Перечислить свойства бинома. Записать формулу для вычисления биномиальных коэффициентов.

Для произвольных чисел А и Б и любого нат N справедливо разложение бинома ньютона.

(a+b)n =C_naⁿ+c_n¹a^n-1b¹+cn2a^n-2b²+…+c_n^ka^n-kb^k+…+c_nⁿbⁿ= E (вверху n внизу n=0)c_n^ka^n-1b^k

C_n^k -бинальные.

C_n^{k =} n!/k!(n-k)!

n!=1*2*3…*(n-1)*n

0!=1

K=0,1…n

5) Дать определение алгебраического многочлена, корня многочлена и его кратности, дробно-рациональной функции, правильной и неправильной рациональной дроби. Сформулировать теорему Безу и ее следствие.

Каноническая формула алгебраического многочлена.

Pn(x) = a_n*xⁿ + a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ a_n. a_n-1 и. т.д. коэффициенты.

Число x0 называется корнем многочлена если P(n)=(x0)=0

т и т.т. когда многочлен делится без остатка.

Нат.число К называется кратностью коря х₀ многочлена Pn(x) если этот многочлен делиться на двухчлен (x-x₀)^k, но не делиться на двухчлен (x-x₀)^k+1

Теорема Беза – Pn(x)=an(x-x₀₎^k0* (x-x₁)^k1* (x-x₂)^k2*… *(x₀x_m)^km* (x²+p₁+q)^s1*(x²+p₂x+q₂)^S2*…* (x²+p_rx+q_r)

6) Назвать виды простейших дробей и записать их формулы. Изложить суть разложения рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Виды простейших дробей:

1) A/x-x0; A.x0 € R;

2) A/(x-x0)k; A,x0 € R k>=2; K€ N

3)Ax+B/x2+px+q, A,B,q,p € R; D<0

4)(Ax+B/(x2+px+q)r; r>=2, r€ N; D<0

Разложение прав рац. дроби на суму простейших дробей.

1)Если корень занменателя действ. то дробь раскладывается на сумму дробей 1ого типа. 5/(x-1)(x+2)(x+4)=A1/x-1+A2/x+2+A3/x+4

2)Если в знаменателе дроби имеется кратный корень то он будет представлен суммой простейших дробей 1ого и 2ого типов. 1/x⁶ = A₁/x+A₂/x²+…+A₆/x⁶

3)Если в знаменатиле дроби имеентся квадратный корень с ДБ0 то ему будет соответствовать простейшая дробь 3 типа. x+1/(x-1)(x²+2x+4)=A₁/x-1 +Bx+C/x²+2x+4

4)Если в знаменателе имеется квадр трёхчлен в степени К. Д<0 то в разложении он будет представлен суммой дробей 3 и 4 порядка

7. Записать формулы представления рациональной дроби в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами. Изложить метод неопределенных коэффициентов.

Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

8. Дать понятие комплексного числа. Определить формы представления комплексных чисел. Дать геометрическую интерпретацию комплексного числа и его изображения на комплексной плоскости, действительной и мнимой части комплексного числа, его модуля и аргумента.

числа вида х + iy, где х и у — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица , x-действительная часть y-мнимая ... х + iy изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты х и у. Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу z=x+iy сопоставим точку плоскости с координатами {x,y} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Если x = 0, то z называется мнимым или чисто мнимым числом.Если y = 0, то z является действительным (вещественным) числом. Модуль комплексного числа z обозначается | z | и определяется выражением

9) Записать формулу тригонометрического представления комплексного числа, определить действия над числами в тригонометрической форме, записать и пояснить соответствующие формулы.

Формула тригонометрического представления комплексного числа:z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).Действия над комплексными числами в тригонометрической форме и формулы: умнож. потом деление

z₁=r₁(cosφ₁+isinφ₁) z₂=r₂(cosφ₂+isinφ₂), тогда

z₁z₂=r₁r₂(cos(φ₁+φ₂)+isin(φ₁+φ₂)).

z₁=r₁(cosφ₁+isinφ₁),z₂=r₂(cosφ₂+isinφ₂),

10) Записать формулу показательной формы записи комплексного числа, определить действия над числами в показательной форме, записать и пояснить соответствующие формулы..

Формула показательной формы записи комплексного числа:z = R*Eiф, где R-модуль, E - число, i,ф-показатели степени числа Е.Действия над комплексными числами в показательной форме и формулы:Умножение:

,

Деление:

,

11) Дать определение матрицы, определить виды матриц. Изложить линейные операции над матрицами и их свойства, записать соответствующие формулы.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Матрицы допускают след.алгебр. операции: 1.сложение, имеющих один и тот же размер; 2.умножение матриц подходящего размера (количество строк одной матрицы должно совпадать с количеством столбцов другой); 3.умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. н. скаляр). Виды матриц: единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.

12) Дать определение операций транспонирования и умножения матриц. Изложить их свойства, записать соответствующие формулы.

Свойства транспонированных матриц : 1)Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А. 2) Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц. 3)Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц 4)При транспонировании можно выносить скаляр. 5)Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы. Транспонирование – замена элементов матрицы столбцов – элементами строк матрицы.Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

13. Дать определение определителя квадратной матрицы. Записать формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядков, изложить и доказать их свойства. Сформулировать правило Саррюса.

Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

Так для определителя 2-го порядка получаем следующую формулу:

для определителя 3-го порядка : по еврейской звезде.

Свойства определителей второго порядка:1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину3. Определитель с двумя одинаковыми строками и столбцами равен нулю.4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя; если все элементы какой-то строки или столбца равны 0, то и определитель равен 0.5. Если к элементам какой либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины.!!!!!! правила Саррюса: для вычисления определителя 3-го порядка приписывают к нему снизу две первые строки и берут сумму произведений трех элементов расположенных на главной диагонали и «прямых», параллельных главной диагонали, со знаком минус берут сумму произведений элементов, расположенных на побочной диагонали, и «прямых», параллельных ей.

14. Дать определение определителя квадратной матрицы. Изложить способы вычисления определителей n-го порядка, их свойства. Сформулировать теорему Лапласа и записать соответствующие формулы.

Общее выражение для определителя матрицы n-го порядка обычно дается в виде:

det[A] =

А11 а12 а13 А21 а22 а23 А31 а32 а33

= Σ(-1)e a1α1a2α2. . . anαn

Теорема Лапласа: Пусть выбраны любые k строк матрицы А. Тогда определитель матрицы А равен сумме всевозмоных произведений миноров kого порядка расположенных в этих строках наих алгебраическое дополнение.

где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов

15) Определить понятие обратной матрицы. Изложить ее свойства. Изложить алгоритм вычисления обратной матрицы.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E. :Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В. АА^-1 = А^-1А=Е. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Свойства обратной матрицы 1) det A^-1=1/detAгде det обозначает определитель. 2)(AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1} для любых двух обратимых матриц A и B. 3) (A^T) ^{− 1} = (A ^{− 1})^T где * ^T обозначает транспонированную матрицу. 4) (kA) ^{− 1} = k ^{− 1}A ^{− 1} для любого коэффициента k не равно 0

Находим сначала детерминант матрицы А (определитель по еврейской звезде) если он >0 значит обратная матрица сущ и вычисл по формуле Найти алгебраические дополнения элементов а_{i j} исходной матрицы. И подставить в формулу