- •12 Случайные велечины
- •16 Непр. Случайная. Величина.
- •28. Характеристические функции биноминального, пуассоновского и нормального распределений вероятности.
- •37. Следствия из центральной предельной теоремы.
- •38. Предмет и основные понятия математической статистики. Первичная обработка.
- •39. Первичная обработка выборки.
- •40. Точечные оценки параметров распределения.
- •46. Метод моментов.
- •49.Распределение отношения выборочных дисперсий 2 норм генер совокупностей.
- •50. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •51. Доверительный интервал для оценки мо при нЕизвестной дисперсии
- •51. Доверительный интервал для оценки мо при известной дисперсии
- •52.Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном мо.
- •53 . Проверка статистических гипотез
- •54 . Ошибки 1 и 2 рода
- •55. Критерий и его применение.
46. Метод моментов.
Пусть з-н распределения интервальной совокупности Х известен с точностью до параметров . Выберем m каких-либо начальных и центральных моментов , найдем теоретически их зависимость от
и приравняем эти зависимости к соответствующим выборочным моментам
Получим систему m уравнений, для нахождения оценок:
Пример. Пусть (равномерное распределение)
Найти ММ оценки параметров а и b :
Находим:
Общее: и для 47 и 48:
Пусть неизвестная функция генеральной совокупности зависит от некоторого параметра . Нужно по наблюдениям оценить параметр. Для построения оценок используются статистики – функции от выборочных значений.
Примеры статистик..
Эта оценка .
Будет рассматриваться, как приближенное значение параметра .Замечание. Как правило, для оценки параметра можно использовать несколько статистик, получая при этом различные значения параметра . Как измерить «близость» оценки к истинному значению ? Как определить качество оценки? Комментарий: Качество оценки определяется не по одной конкретной выборке, а по всему мыслимому набору конкретных выборок, т.е. по случайному выборочному вектору , поэтому для установления качества полученных оценок моментов , следует во всех этих формулах заменить конкретные выборочные значения на СВ Xi.
;;.
Качество оценки устанавливают, проверяя, выполняются ли следующие три свойства (требования).Требования, предъявляемые к точечным оценкам:
1. Несмещенность, т.е. .
Это свойство желательно, но не обязательно. Часто полученная оценка бывает существенной, но ее можно поправить так, что она станет несмещенной.
Иногда оценка бывает смещенной, но асимптотически несмещенной, т.е. .
2. Состоятельность, т.е. .
Это свойство является обязательным. Несостоятельные оценки не используются.
3. Эффективность.
а) Если оценки и – несмещенные, то и .
Если , то оценка более эффективна, чем .
б) Если оценки и – смещенные, тогда и .
Если , то оценка более эффективная, чем .
Где – средний квадрат отклонения оценки.
Рассмотрим использование этих свойств на примерах выбора оценок МО и дисперсии:
47. Выборочная дисперсия Докажем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой для дисперсии генеральной совокупности.
Выполним следующие преобразования
; .
Найдем МО для дисперсии:
.
.
МО не совпадает с 2, а отличается на –2/n – смещение. Таким образом эта оценка занимает в среднем истинное значение дисперсии на величину 2/n, правда это смещение сходит на нет при n .
Чтобы устранить это смещение надо «исправить» дисперсию.
;
;
.
Можно доказать, что статистика S2 является и состоятельной оценкой для дисперсии генеральной совокупности.Замечание. К сожалению, на практике при оценке параметров не всегда оказывается возможным одновременное выполнение требований: несмещенности, эффективности и состоятельности.
48. Выборочное среднее: является несмещенной и состоятельной оценкой МО генеральной совокупности (X1 ,…, Xn ), причем каждое Xi совпадает с m и 2.
а) Несмещенность. По определению выборочного вектора
, причем Xi – независимые в совокупности СВ, тогда вычислим
M[Xсред]=M[(1/n)Xi]=(1/n)M[Xi]=
(1/n)M[Xi]=(1/n)nm .
D[Xсред]=D[(1/n)Xi]=(1/n2)D[Xi]=
(1/n2)D[Xi]=(1/n)n2=2/n
б) Состоятельность Воспользуемся неравенством Чебышева:
Применим это неравенство к
При n ,что и доказывает состоятельность .