Вопрос 8. Колебания

Движения и циклические процессы, характеризуемые определенной повторяемостью во времени, называют колебаниями. Они чрезвычайно распространены в природе и технике. Это суточные и годичные изменения температуры, морские приливы и отливы, волны на поверхности морей и океанов, разрушительные колебания коры планеты, биение сердца, дыхательный ритм, вибрации механизмов и сооружений (амплитуда колебаний вершины Останкинской телебашни при сильном ветре достигает 2,5 м), движение поршней двигателей внутреннего сгорания, акустические процессы, тепловое движение ионов и атомов кристаллической решетки твердого тела и движение электронов в атоме, переменный ток и его электромагнитное поле. В ряде случаев колебания играют отрицательную роль. Это колебания (вибрации) крыльев самолета; моста, возникающие из-за толчков на стыках рельс, при прохождении поезда; корпуса корабля, вызванные вращением гребного винта и т.п. Все эти процессы могут привести к катастрофическим последствиям. В подобных случаях необходимо воспрепятствовать тому, чтобы колебания достигли опасных размеров. Вместе с тем колебательные процессы составляют основу некоторых, технических устройств и даже отраслей техники. Так, радиотехника основана на колебательных процессах.

В зависимости от характера воздействия, вызывающего и поддерживающего колебательный процесс, колебания классифицируют на свободные (или собственные), вынужденные, автоколебания и параметрические.

Свободные или собственные колебания происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок или она была выведена из положения равновесия. Примером собственных колебаний является движение подвешенного на нити шарика.

Вынужденные колебания появляются в системе от воздействия внешней периодически изменяющейся силы. Примером вынужденных колебаний может служить колебание моста, возникающее при прохождении по нему шагающих в ногу людей.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на систему внешних сил, но при этом система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы. В них маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или упругой пружины. Однако толчки происходят в те моменты времени, когда маятник проходит через среднее положение.

Параметрические колебания в системе происходят также от внешнего воздействия при периодическом изменении одного из параметров системы. Примером параметрических колебаний является движение шарика, подвешенного на нити переменной длины.

Опыт указывает на многообразие форм колебательного движения и на то, что анализ их осуществляется единым методом. Простейшими являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса — синуса x=Acos.

Рассмотрим основные кинематические параметры гармонических колебаний.

1. Отклонение (смещение s = f(t)) — мгновенное вертикальное перемещение относительно положения равновесия, м.

2. Амплитуда А — максимальное отклонение (смещение),м.

3. Периодичность, то есть повторяемость движения по истечении времени Т, называемая периодом колебания. Это минимальный промежуток времени, через который происходит повторение процесса. Итак, период Т = 1/ , с, есть длительность полного колебания, то есть промежуток времени, в течение которого фаза колебания получает приращение 2р рад.

3. Частота колебаний = 1/Т, с^-1= Гц, представляет собой число колебаний в единицу времени. В качестве единицы измерения частоты в СИ используется герц. 1 Гц соответствует одному колебанию в секунду.

4. Угловая, круговая или циклическая частота, называемая прежде угловой скоростью,. Так как со , то , рад/с. Заметим, что Т = . Циклическая частота равна величине изменения фазы в единицу времени, то есть скорости изменения фазы.

5. Фаза , рад

6. Начальная фаза , рад — значение фазы в момент начала колебаний при t = 0.

7. Время t — отсчитывается от момента начала колебаний. Колебания, и в том числе гармонические, представляют собой движение с переменным ускорением. Отклонение, скорость и ускорение являются функцией времени.

Для гармонического, например, движения системы по. окружности, описываемого уравнением типа s = Асоs = Acos(), первая производная по времени представляет собой мгновенную скорость колеблющейся системы

Выше было отмечено, что гармоническое колебание представляет собой движение с переменным ускорением. Мгновенное ускорение колебательной системы определяется второй производной s = Асоs по времени

Скорость и ускорение достигают своих амплитудных значений и соответственно в моменты времени, когда s = 0 и s = ±А. Знак ускорения всегда противоположен знаку смещения, то есть ускорение центростремительно.

Систему, колебания которой совершаются относительно устойчивого центра равновесия, называют осциллятором. Если колебания системы являются гармоническими, то такую систему называют гармоническим осциллятором. В теории колебаний гармонический осциллятор представляет собой модель, широко используемую в ряде задач классической и квантовой физики. Реальным примером гармонического осциллятора могут быть пружинный, математический и физический маятники, электрический колебательный контур.

Пружинный маятник — это двухкомпонентная система, состоящая из груза массой т и абсолютно упругой пружины.

Подобная система способна к гармоническим колебаниям вдоль оси х под действием упругой силы F = - кх, где к— коэффициент упругости, кг/с². В данном случае его называют еще жесткостью. Именно упругая сила пружины используется в качестве возвращающей силы системы. По второму закону Ньютона: та = — кх. Тогда уравнением движения пружинного маятника следует считать

Из уравнения движения очевидно, что циклическая частота пружинного осциллятора равна рад/с, а его период

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т и невесомой недеформируемой нити длиной . В состоянии равновесия системы силы тяжести и натяжения F_H уравновешивают друг друга. Период колебаний математического маятника Т=, с, не зависит от массы маятника и амплитуды его колебаний.

Практическое значение математического маятника состоит в том, что, используя его, можно определить ускорение g силы тяжести.

Физический маятник —- это твердое тело с распределенной массой, совершающее гармонические колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси А подвеса, не совпадающей с центром масс О.

Дифференциальное уравнение движения материальной точки массой m под действием упругой силы и силы трения:

Чтобы поддержать в течение длительного времени колебания в гармоническом виде, необходимо к колебательной системе постоянно подводить извне энергию в количестве, компенсирующем ее расход. Такие колебания называют вынужденными.

Дифференциальное уравнение второго порядка для вынужденных колебаний

При _рез амплитуда стремится к максимуму, величина которого зависит от коэффициента затухания . Увеличение амплитуды колебаний при =₀ называется резонансом.