- •Содержание
- •Глава 1.
- •Глава 2.
- •Глава 3.
- •Глава 4.
- •Глава 5.
- •Глава 6.
- •Глава 7.
- •Глава 8.
- •Введение
- •Глава 1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •1.2. Определители и их вычисление
- •1.3. Ранг матрицы
- •Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы
- •Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями
- •Свойства матриц и определителей
- •1.4. Обратная матрица
- •1.5. Исследование и решение произвольной системы линейных алгебраических уравнений
- •Глава 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •2.1. Элементы векторной алгебры
- •П Точка , точка роизведения векторов элементы векторной алгебры
- •2.2. Геометрия прямых и плоскостей в таблицах
- •Уравнения плоскости р в трехмерном пространстве r3 и уравнения прямой l в двухмерном пространстве r2
- •Уравнения прямой l в трехмерном пространстве r3 и в двухмерном пространстве r2
- •Взаимное расположение плоскостей p в трёхмерном пространстве r3 и прямых l в двухмерном пространстве r2
- •Расстояния d(p1,p2) между плоскостями p1 и p2 и d(l1,l2) между прямыми l1 и l2 в r3, пересечение pl плоскости p и прямой l в r3
- •Полярная система координат
- •Поверхности второго порядка
- •Глава 3. Предел и непрерывность функции одного аргумента
- •3.1. Вычисление пределов
- •Предел дробно-рациональной функции
- •Сравнение бесконечно малых функций
- •Предел отношения б. М. Ф. (б. Б. Ф.) не изменится, если заменить эти функции эквивалентными.
- •Разность эквивалентных б. М. Ф. (б. Б. Ф.) есть б. М. Ф. (б. Б. Ф.) более высокого порядка малости (роста) по сравнению с уменьшаемой и вычитаемой б. М. Ф. (б. Б. Ф.).
- •Сумма конечного числа б. М. (б. Б.) слагаемых разного порядка малости (роста) эквивалентна слагаемому самого низкого (высокого) порядка малости (роста).
- •3.2. Непрерывность функции одного аргумента
- •Глава 4.
- •4.1. Таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Сложная функция
- •Параметрически заданная функция
- •8. Логарифмическое дифференцирование
- •4.2. Таблица интегралов
- •4.3. Приложения производной Теоремы Роля, Лагранжа, Коши
- •Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •Исследования функции без применения производных
- •Исследования функции с применением производных
- •4.4. Неопределенный интеграл Метод непосредственного интегрирования
- •Метод интегрирования по частям
- •План интегрирования рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций
- •Интегрирование иррациональностей
- •4.5. Несобственные интегралы (н.И.)
- •4.6. Приложения определенного интеграла
Глава 1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений
1.1. Матрицы и действия над ними
Определение матрицы
|
Матрицей размера называется прямоугольная таблица элементов некоторого множества (например, чисел или функций), имеющая строк и столбцов. Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. |
Матрицы могут обозначаться так:
Определение видов матриц
|
1. Если m = n, то матрицу называют квадратной, порядка n. 2. Если m ¹ n, то матрицу называют прямоугольной. 3. Матрицу, все элементы которой равны нулю, называют нулевой. 4. Элементы (где k = min{m,n}) будем называть элементами главной диагонали матрицы. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной:
5. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной:
Обозначают: E или En. 6. Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n. Элементы a1 n, a2 n-1, a3 n-2, …, an1 будем называть элементами побочной диагонали матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше) главной или побочной диагонали равны нулю, называются треугольными:
|
Определение видов матриц
|
7. Прямоугольную матрицу размера m ´ n будем называть трапециевидной, если все её элементы ниже главной диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид:
|
Определение равных матриц
|
Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. . |
Определение суммы двух матриц
|
Суммой двух матриц и с одинаковым количеством m строк и столбцов называется матрица , элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матриц: . Обозначение: |
==.
Определение произведения матрицы на число
|
Произведением матрицы на число называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы на число : . |
Например. .
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называют линейными операциями над матрицами.
Свойства линейных операции над матрицами
|
Определение произведения матрицы-строки на матрицу-столбец |
Произведением матрицы-строки, имеющей столбцов, на матрицу-столбец, имеющий столько же строк, называется матрица, состоящая из одного элемента, который равен сумме произведений соответствующих элементов перемножаемых матриц:, |
или
Условие существования произведения двух матриц |
Произведение матриц существует только в тех случаях, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то есть . При этом матрица-произведение имеет число строк матрицы и число столбцов матрицы . |
Определение перестановочных матриц
|
Квадратные матрицы (размера ), произведение которых коммутативно: , называются перестановочными. |
Определение произведения матриц
|
Произведением матрицы , имеющей строк и столбцов, на матрицу , имеющую строк и столбцов, называется матрица , имеющая строк и столбцов, у которой элемент равен сумме произведений элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы , |
то есть .
Произведение матриц обозначается .
Замечание. Правило умножения матриц можно легко запомнить, если сформулировать его в следующем виде:
элемент матрицы , стоящий на пересечении -й строки и -го столбца,
есть скалярное произведение -й вектор – строки матрицы
и -го вектор – столбца матрицы .
= .
Свойства операции умножения матриц
|
|
Определение транспониро-ванной матрицы
|
Пусть A – матрица размера m ´ n. Матрица размера n ´ m, полученная из A заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A и обозначается AТ. Операция нахождения матрицы AТ называется транспонированием матрицы A. |
Свойства операции транспониро-вания матриц
|
|