21. Эквивалентные высказывания и логические законы.

Сложные высказывания можно рассматривать как простые, обозначая их одной буквой.

Например, высказывание “a/\b” можно обозначить буквой “с” .

При этом логическое значение “с” зависит от значений “a” и “b”.

Сложное высказывание может включать в себя несколько операций, в этом случае для понимания смысла высказывания необходимо ставить скобки. Например, для выяснения значения высказывания “a=>b/\c” сначала выполняется импликация или конъюнкция?

Для краткости некоторые скобки можно опускать. При этом нужно

руководствоваться следующей таблицей приоритетов (первой

выполняется операция отрицания):

операция	запись	обозначает
/\	a/\bVc	(a/\b)Vc
V	a=>bVc	a=>(bVc)
=>	a=>bóc	(a=>b)óc
ó	a/\bócVd	(a/\b)ó(cVd)

Пример: нужно убрать лишние скобки в выражении:

((d/\f)=>(eVc)) ó((a=>b)/\d).

В результате получим: d/\f=>eVcó(a=>b) /\ d

Каждое сложное высказывание представляет собой функцию входящих в него простых высказываний. Для записи логической структуры, таких высказываний используются формулы.

Два высказывания “x” и “y” называются равносильными, если при всех возможных комбинациях логических значений входящих в них простых высказываний они принимают одинаковое логическое значение.

Например: равносильно а

b/\b равносильно b

Логические законы.

Сложное высказывание х называется логическим законом или тавтологией, если оно истинно при всех комбинациях логических значений входящих в него простых высказываний. Логические законы играют исключительно важную роль при

построении математических теорий: применяя логические законы, из верных утверждений получаем верные (доказываем теоремы).

Основные логические законы

22. Одноместные предикаты: основные понятия.

Рассмотрим внутреннее строение высказываний. В каждом

высказывании можно выделить некоторый предмет и свойство

этого предмета. Например, “6<9”можно рассматривать как высказывание о предмете

“число 6”, которое обладает свойством “быть меньше 9”. Вместо 6 можно подставить другие числа, получая при этом другие высказывания: “5<9”, “3<9” и др.

Записав “х<9” и указав, какие значения может принимать переменная х, мы полностью опишем такие высказывания. Выражение типа “х<9” и “х-это город” называются одноместными предикатами и обозначаются Р(х), Q(х).

Множество значений, которые принимает переменная х, входящая

в предикат Р(х), называется полем этого предиката (обозначать

будем М). При одном и том же свойстве предмета задавая разные множества

значений, которые принимает х, мы получаем разные предикаты. При подстановке в предикат какого-то значения переменной х, мы получаем высказывание, которое будет истинным или ложным в зависимости от того, какое именно значение мы подставили.

Таблицы, в которых указываются значения высказываний,

получаемых из предикатов путём подстановки в них конкретных

значений переменных называются матрицами предиката.

Пример: Р(х) - “х имеет хвост”, М={обезьяна, кабан, человек}.

Построим матрицу предиката.