19. Суждения и высказывания как формы мышления.

Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором можно говорить, что оно либо истинно, либо ложно. При этом может быть неизвестно, каким именно является предложение истинным или ложным; важно, что оно принимает только одно из значений.Высказывания обозначаются строчными латинскими буквами a, b,…, а их значения “истина” и “ложь” соответственно прописными буквами “И” и “Л”. В вычислительной технике используется цифровое обозначение:1и 0.Пример: “Москва-столица России”, “В любом треугольнике все углы равны”- эти предположения являются высказываниями.Первое - истинное, а второе – ложное. “Который час ?”,”С началом учебного года!”-высказываниями не являются.

Высказывания, обозначаемые одной буквой, называются простыми. Высказывания, получаемые применением различных операций над простыми высказываниями, называются сложными или составными .Сложные высказывания принимающие во всех комбинациях значений входящих в него высказываний одно и то же значение, называется

тождественным. Если это значение “И”, то высказывание называется тождественно

истинным высказыванием. Если оно принимает значение “Л”-тождественно ложным

высказыванием.

20. Основные операции над высказываниями. Таблицы истинности.

Над высказываниями можно определить операции,

соответствующие связкам между предложениями, употребляемым в

обычной речи. Операции задаются с помощью таблиц истинности. Каждой строке такой таблицы взаимно однозначно соответствует наборзначений составляющих высказывания и соответствующее значение составного (сложного) высказывания

Существуют пять основных типов операций над высказываниями. К

ним относятся:

1. Операция “отрицание”-аналог “не”.

2. Операция “дизъюнкция”-аналог “или”.

3. Операция “конъюнкция”-аналог “и”.

4. Операция “импликация”-аналог “если,…то”.

5. Операция “эквивалентность”-аналог “тогда и только тогда,

когда”.

Операция “отрицание” обозначается , читается “не a” и задаётся

следующей таблицей:

а	_ а
И	Л
Л	И

Пример: если а - высказывание “2,5-целое число” (Л), то

-высказывание “Не верно, что 2,5-целое число” или , короче,

“2,5-не целое число”

Операция “дизъюнкция” обозначается “aVb”, читается “a или b” и

задаётся следующей таблицей (в слове две буквы и,+):

а	b	aVb
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

В русском языке союз “или” имеет два значения - исключающее (либо

одно, либо другое) и неисключающее (или одно, или другое, или оба

вместе). Операция “дизъюнкция” соответствует неисключающему “или”.

Это видно из таблицы истинности для операции.

Дизъюнкция:

Пример: пусть а обозначает высказывание “4<8” (И), а b обозначает высказывание “4=8” (Л), тогда “aVb” будет обозначать высказывание “4<8 или 4=8” или “4<=8” (И).

Операция “конъюнкция” обозначается “a/\b”, читается “a и b” и

задаётся следующей таблицей (в слове одна буква и, *):

а	b	a/\b
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Как и в обычном понимании, высказывание “a и b” истинно только в том

случае, когда истинны оба высказывания (и а и b). пусть а обозначает высказывание “4<8” (И), а b обозначает высказывание “18>=8” (И), тогда

“a/\b” будет обозначать высказывание “4<8 и 18>=8” или “4<8<=18” (И).

Операция “импликация” (если,…то) обозначается а=>b, читается “если

а, то b” или “из а следует b” и задаётся таблицей:

а	b	a=>b
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

“а” называется условием, а “b” –следствием импликации.

Таблица истинности для импликации не совсем соответствует принятому

смыслу союза “если-то”.

Например, “а=>b” истинно при ложном b, если а ложно. Это

обстоятельство можно пояснить так: “из лжи следует всё что угодно”: из

ложного высказывания верными преобразованиями можно получить как

истинное, так и ложное высказывание.

если 2х2=4, то Москва-город”.

Это случай, когда истинны высказывания а и b, а следовательно истинна

и импликация “а=>b”, но а и b не связаны между собой. В этом случае

операцию “импликация” лучше пояснить так: импликация “а=>b”

характеризует верность рассуждения, которым из высказывания а

(условие) получено высказывание b (следствие).

Рассуждение, которым из истинного условия получено ложное

следствие, не может быть верным. При верных рассуждениях из

истинных высказываний получаются истинные. Если же из высказывания

верным суждением получено истинное следствие, то это не означает,

что это высказывание истинно, оно может быть и ложным .

Операция “эквивалентность” (тогда и только тогда, когда) обозначается

“а<=>b”, читается “a эквивалентно b” или “а тогда и только тогда, когда

b” и задаётся таблицей:

а	b	a<=>b
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

В соответствии с общепринятым смыслом два высказывания а и b

эквивалентны (их эквивалентность а<=>b является истинным

высказыванием), если они принимают одинаковое логическое значение:

оба либо истинны, либо ложны.

если а обозначает высказывание “4=8” (Л), а b обозначает высказывание “8=8” (И), то

“а<=>b” соответствует “4=8, тогда и только тогда, когда 8=8”, что

является ложью.

Таблица истинности для рассмотренных операций логики высказываний

a	b	_ a	(a/\b)	(aVb)	(a=>b)	(a<=>b)
И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	И	И	Л
Л	Л	И	Л	Л	И	И