3. Визначення динамічних реакцій

Тіло, що складається з пластини зі сторонами l_3, l₂, масою m₂ та матеріальної точки m₁ на стрижні довжиною l₁, закріплених на валу АВ = L=1 м, обертається навколо нерухомої осі за законом φ(t), в якому прийнято ε=20 рад/с² (рис 7). Використовуючи метод кінетостатики знайти динамічні та додаткові реакції в опорах вала, а у разі прискореного обертального руху, знайти ще й обертальний момент M_об. Закон руху, маси та розміри тіл наведені у таблиці 3.

Малюнок 7

№ варіанту	φ(t), рад	m1	m2	l1	l2	l3	a		b
		кг		м
12		5	20	0.3	0.3	0.4	0.2		0.3

Таблиця 3

Спочатку визначимо динамічні реакції опор. Зв’яжемо жорстко з тілом рухому систему кординат A_xyz. Визначимо активні сили m₁g, m₂g, що діють на тіло і М_об. Відповідно до аксіоми про звільнення від в’язей відкинемо верхню і нижню підшипникові опори і замінимо їх відповідними реакціями в’язей X_A, Y_A, Z_A, X_B, Y_B. До центрів мас кожного з елементів, які складають тіло умовно прикладемо у напрямку, протилежному їх прискоренням (або складовим прискорень)

Малюнок 8

,

,

Отримана система сил є довільною просторовою, тому використаємо відповідні умови її рівноваги:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

, (6)

Розв’яжемо ці рівняння відносно невідомих величин. З рівняння (6) знайдемо обертальний момент:

Із рівняння (4) отримуємо:

Із рівняння (5) отримуємо:

Далі з виразу (3) випливає, що:

З рівняння (1) знайдемо

З рівняння (2) отримаємо:

Від’ємний знак у виразах , вказує на те, що вектори , мають протилежний напрям.

Додаткові динамічні реакції отримаємо, залишивши у виразах повних реакцій лише ті члени, які залежать від ε та εt, а саме:

Н

Н

Н

4. Рівняння Лагранжа

Механічна система, що складається з п’яти тіл, рухається під дією сил ваги та пари сил з моментом M сталої величини. Дані для розв’язку подані в таблиці 4. Схема механізму зображена на рисунку 9. Знайти кінематичні рівняння руху системи в узагальнених координатах, які вказані в таблиці, використовуючи початкові умови.

Малюнок 9

Варіант

Маси тіл

Радіуси блоків

Радіус інерції

Узагальнені координати

Початкові умови

m1

m2

m3

m4

m5

R1

r2

R2

R3

i2

q1

q2

q10

q20

12

2m

3m

m

m

0.5m

2r

r

2r

r

r

s3

x

0

0

0

Малюнок 10

Механічна система, рух якої досліджується, має два степені вільності, тому система рівнянь Лагранжа другого роду має вигляд

(1)

Де Т – кінетична енергія системи, - потенціальна енергія, - узагальнені сили, які мають потенціальний характер.

Визначимо кінетичну енергію системи як функцію узагальнених координат і швидкостей, де - кінетична енергія окремих тіл.

Для блока 1 маємо:

Осьовий момент інерції першого блока , кутову швидкість виразимо через узагальнену координату , отримаємо:

(2)

Для блоку 2 аналогічно

Осьовий момент інерції другого блока . Кутову швидкість виразимо через узагальнену координату , оскільки R₁ = R_2, отримаємо:

(3)

Рух тіла 4 можна подати як сукупність двох поступальних рухів: переносного разом з центром мас блока 3 і руху блока 3 відносно цього центра зі швидкістю . Швидкість центра мас тіла 3 можна знайти на підставі співвідношення:

(4)

Тоді абсолютна швидкість тіла 4:

Кінетична енергія цього тіла:

(5)

Для тіла 5 все аналогічно як і для 4, але вектори відносного і переносного руху будуть мати протилежний напрям, тому вираз для абсолютної швидкості набуде такого вигляду:

Кінетична енергія тіла 5:

(6)

Блок 3 здійснює плоскопаралельний рух. Його кінетична енергія дорівнює:

Осьовий момент інерції . Оскільки кутова швидкість блока 3 та відносна швидкість тіл 4,5 пов’язані співвідношенням , а отримаємо:

, (7)

Кінетичну енергію системи, після додавання виразів (2), (3), (5), (6), (7) запишемо:

(8)

Знайдемо частинні похідні від кінетичної енергії:

Визначимо потенціальну енергію системи: , як роботу сил ваги по переміщенню даних тіл з поточного положення в початкове.

,

Переміщення центра мас тіла 3 визначаеться на підставі кінематичного співвідношення (4). Запишемо його у диференціалах і домножимо на dt. Отримаємо:

Після інтегрування цього виразу на проміжку отримуємо:

Звідси при нульових початкових умовах маємо:

Тоді потенціальна енергія системи, як функція узагальнених координат φ, x набуває вигляду:

Знаходимо частинні похідні за узагальненими координатами від потенціальної енергії системи:

, (9)

Узагальнені сили та визначимо як коефіцієнти при варіаціях узагальнених координат у виразі елементарної роботи непотенціальних сил. До останніх належить пара сил з моментом M.

Зафіксуємо координату х і надамо механічній системі елементарне переміщення δφ у бік додатних значень зміни кута повороту φ. Відповідна елементарна робота має вигляд:

Звідки маємо

На елементарному переміщенні непотенційні сили роботи не виконують. Тобто:

Отже система рівнянь Лагранжа другого роду (1) запишеться так:

(10)

Рівняння (10) можна розв’язати відносно похідних:

, , де

Тоді перші інтеграли диференціальних рівнянь мають вигляд:

, ,

А другі інтеграли:

На підставі початкових умов визначаємо сталі інтегрування і отримуємо шукані рівняння руху механічної системи: