Малюнок 3

Але слід зазначити, що кутова кордината т.К коливається від 0 до π і по доягненні верхнього значення починає рухатися в протилежному напрямі. Отже відкладаємо надлишковий кут β= по дузі в напрямі від N до O

Малюнок 5

Відстань FG від точки до осі буде дорівнювати Rcosβ

l=FG=Rcos=1∙0,5=0,5 м

Отже = FG (15)

Підставляючи (15) в формулу (14) отримаємо: (+)

Підставимо (12) і (13) у :

;

(FG+);

2. Застосування теореми про зміну кінетичної енергії для вивчення руху механічної системи

Механічна система внаслідок дії сили ваги починає рухатися із стану спокою. Початко­ве положення системи показано на малюнку 6.

Враховуючи тертя ковзання тіла 1 та опір коченню тіла 3, яке котиться без ковзання, нехтуючи масами ниток, які вва­жаються нерозтяжними, знайти швидкість тіла в той момент, коли пройдений ним шлях буде дорівнювати .

Малюнок 6

Номер варіанту

Маси тіл

Радіус кола, см

Радіус інерції, см

Кути нахилу поверхонь до горизонту,

Коефіцієнт тертя ковзання

Пройдений шлях, м

R3

r2

S

12

m

m/2

m/5

m

30

22,5

15

20

30

0,2

2,5

Таблиця 2

Для знаходження швидкості тіла 1 використаємо теорему про зміну кінетичної енергії:

. (1)

Тут і – кінетична енергія системи в початковому і кінцевому положеннях, – сума робіт зовнішніх сил, прикладених до системи, - сума робіт внутрішніх сил системи.

Для розглядуваної системи, яка складається з абсолютно твердих тіл, з’єднаних нерозтяжними нитками:

.

В початковому положенні система знаходиться у спокої, тоді:

.

Отже рівняння (1) приймає вигляд:

. (2)

Малюнок 7

Кінетична енергія даної системи в кінцевому її положенні дорівнює сумі кінетичних енергій всіх тіл:

. (3)

Кінетична енергія тіла 1, що рухається поступально:

. (4)

Кінетична енергія тіла 2, що обертається навколо нерухомої осі:

. (5)

Момент інерції барабану 2:

,

оскільки відомо, то

. (6)

А оскільки , то формула (6) набуде такого вигляду:

Кінетична енергія барабана 3, що здійснює поступальний і обертальний рух:

. (7)

Де – швидкість центра мас барабана 3, яку ми визначимо за формулою Ейлера, як добуток кутової швидкості на відстань від заданої точки до миттєвого центра обертання

,

Швидкість центра мас V₁ 1-го тіла C₁ дорівнює швидкості точок E,F на краю барабана 2 і швидкості точки D на краю барабана 3 і дорівнює V.

V_F = V_D з цього випливає, що PD=O₂F=R₂

V_L = V_K з цього випливає, що O₂K = O₃L=r₂

C₃P = DL- DC₃- LP = R₂ + r₂ - - r_{2 =}

З обертання 2-го тіла:

(8).

За означенням момент інерції диска (9)

Підставляємо (9), (8) у (7): .

Кінетична енергія 4-го тіла визначається за формулою (10)

V₄=V_C3= (11)

Підставляємо (11) у (10):

Підставляємо (4), (6), (7), (10) у (3)

. (12)

Знайдемо суму робіт зовнішніх сил, прикладених до системи:

. (13)

Робота зовнішніх сил, прикладених до тіла 1 дорівнює сумі робіт сил тяжіння, сили реакції опори та сили тертя. Але для початку треба ці сили знайти. Отже спроектуємо зовнішні сили для 1-го тіла на осі довільної системи координат (X,Y), яку ми задамо, позначивши відповідні осі.

У проєкції на вісь Х: m₁W=-F_T+m₁gcos(90-α)

Y: N₁=m₁gcosα (14)

За визначенням, робота сили дорівнює добутку сили на переміщення точки прикладення сили. Переміщення = α). Отже A= α)

Сила N₁ не впливає на переміщення центра масс першого тіла, отже її робота дорівнює нулю. Сила тертя виконує роботу A(F_T) = -F_TS (15)

F_T = N₁f, підставляємо з формули (14) і отримуємо що F_T = f m₁gcosα. Підставивши це в формулу (15) отримуємо, що A(F_T) = -Sf m₁gcosα Отже А₁ = α) - Sf m₁gcosα (16)

Робота зовнішніх сил, прикладених до барабану 2 дорівнює роботі сил тяжіння і реакції опори:

.+N₂₊N₃

Оскільки переміщення центру ваги барабану 2 по вертикалі і по горизонталі дорівнює нулю, то

. (17)

Робота зовнішніх сил, прикладених до катка 3 дорівнює роботі сили тяжіння:

. (18)

Кут повороту катка 3:

.

– вертикальне переміщення катка 3:

h = PC₃(19)

А як ми вже визначили PC₃ = R₂ – r_2, отже формула (19) набуде такого выгляду:

h =

Підставляючи у формулу (18) отримаємо: (20)

A₄ = -m₄h = (21)

Підставляємо (21), (20), (17), (16) у (13):

. (22)

Згідно з (2) прирівнюємо (12) з (22):

,

звідки