- •Розділ №1 Комплексна змінна і функція комплексної змінної
- •§ 1 Комплексні числа і дії над ними
- •§ 2 Границя послідовності комплексних чисел
- •§ 3 Поняття функції комплексної змінної. Неперервність
- •§ 4 Диференціювання функції комплексної змінної
- •§ 5 Інтеграли по комплексній змінній
- •§ 6 Інтеграл Коші
- •§ 7 Існування похідних всіх порядків аналітичної функції
- •Розділ №2. Ряди аналітичних функцій
- •§1 Рівномірно збіжні функціональні ряди
- •§2 Степеневі ряди. Ряд Тейлора
- •§ 3 Єдність визначення аналітичної функції
- •§ 4 Аналітичне продовження
- •§ 5 Ряд Лорана
- •§ 6 Класифікація ізольованих особливих точок аналітичної функції.
- •Розділ №3. Теорія лишків
- •§1 Лишок аналітичної функції в ізольованій точці
- •§ 2 Застосування теорії лишків до обчислення означених інтегралів функції дійсної змінної
- •Розділ № 4 Перетворення Лапласа
- •§ 1 Означення перетворення Лапласа та його властивості.
- •§ 2 Знаходження оригіналу за відомим образом Лапласа
Розділ №1 Комплексна змінна і функція комплексної змінної
§ 1 Комплексні числа і дії над ними
1. Поняття комплексного числа. Дії над комплексними числами. Комплексним числом z називається впорядкованих пара дійсних чисел , над якими задані такі дії:
а) додавання: сумою двох комплексних чисел та називається таке число , для якого , . Справедливими є наступні закони: (комутативний), (асоціативний).
б) множення: добутком двох комплексних чисел та називається таке число , для якого , . Справедливими є наступні закони: (комутативний), (асоціативний).
в) порівняння: два комплексні числа та рівні тоді і тільки тоді, коли рівні відповідно їх дійсні та уявні частини, тобто коли і .
Перше число a пари називається дійсною частиною комплексного числа z і позначається через a = Re z, число b називається уявною частиною комплексного числа z, і позначається через b = Im z.
– двовимірна форма запису комплексного числа;
Зручною є алгебраїчна форма комплексного числа: , де і – уявна одиниця, тобто . , , , … . Число називають комплексно спряженим числом до числа .
Слід зауважити, що нерівностей комплексних чисел не існує.
Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі:
;
;
.
2. Геометрична інтерпретація комплексного числа. Введемо перш за все поняття комплексної площини. Комплексна площина — це площина із осями декартової системи координат, де вздовж вісі абсцис відкладається дійсна частина комплексного числа і її відповідно називають дійсною віссю, а вздовж вісі ординат –уявна частина комплексного числа, її називають уявною віссю (див. рис.1).
Рис. 1 Комплексна площина.
Отже, на комплексній площині комплексні числа зображуються точками з координатами (дійсна частина, уявна частина).
– тригонометрична форма запису комплексного числа;
– дійсна частина комплексного числа;
– уявна частина комплексного числа;
– модуль комплексного числа , – аргумент комплексного числа , при і , при . Геометричний зміст модуля комплексного числа – це відстань від початку координат до точки на комплексній площині, що зображує дане комплексне число. Геометричний зміст аргументу комплексного числа полягає в тому, що це кут між додатною віссю ox і вектором проведеним від початку координат до точки z, що зображує дане комплексне число. .
Використовуючи формулу Ейлера: , отримаємо показникову форму запису комплексного числа: .
При додаванні (відніманні) доцільно використовувати алгебраїчну форму або двовимірну форму комплексного числа, а при множенні чи діленні чи – показникову форму:
;
.
3. Добування кореня із комплексного числа. Тригонометрична і показникова форми запису комплексного числа є зручними при розгляді таких арифметичних операцій як піднесення комплексного числа до цілої додатної степені та добування кореня з комплексного числа.
Піднесення до степеня комплексного числа, означає наступне: . Комплексне число називається коренем n-ї степені із комплексного числа z, якщо . Добування кореня із комплексного числа здійснюється за допомогою формули Муавра:
, де к = 0, 1, 2, … n-1.
При , , …, повторюються значення, що відповідають тому достатньо обмежитись найбільшим значенням .
Приклад: добути корінь з комплексного числа .
, ,
;
.
Рис. 2 Добування кореня з комплексного числа.
Обчислення аргументу комплексного числа:
1) z – число дійсне і додатне, тобто , (, );
2) z – число уявне і додатне, , (, );
3) z – число дійсне і від’ємне, , (, );
4) z – число уявне і від’ємне, , (, );
5) аргумент числа z = 0 є невизначеним.
, – права півплощина;
, – ліва півплощина.