4.3. Полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля.

(полиномы Чебышева на промежутке).

Полиномы Чебышева, рассматриваемые ранее, применялись для аппроксимации точечных множеств. Теперь рассматриваем аппроксимацию функции на промежутке.

1. Ортогональность с весом.

Система функций ,заданная на отрезке называется ортогональной на этом отрезке с весом , если при .

Из ортогональности функции с весом следует обычная ортогональность системы .

Системой функций, ортогональной с весом, является полиномы Чебышева – полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля.

Получаем

Коэффициенты при старшем числе всегда равны единице!

Другая форма полиномов Чебышева, рассматриваемых на отрезке.

На этом отрезке можно положить ; т.е. .

Тогда , и примет вид

при

(т.к. )

т.к. , то

Формула неверна при ! при

При из получается рекуррентные формулы для вычисления полиномов Чебышева.

Т.к. ,

а - следует из ,то

И из следует:

Т.о. зная, что

можно по вычислить последовательно все

и т.д.

Свойства полиномов Чебышева:

1. Полиномы Чебышева образуют на отрезке ортогональную систему с весом

, т.е. при .

т.е. полиномы Чебышева – ортогональны с весом.

2. Все корни полинома Чебышева ненулевой степени действительны, различны и лежат на интервале .

3. Полином Чебышева при на отрезке имеет экстремальных значений, равных между собой по абсолютной величине. Максимальной значение модуля полинома Чебышева при на отрезке равно , т.е. при

т.к. вес возрастает при приближении к краям отрезка ,то приближения, получаемые с помощью полиномов Чебышева , учитывают с большей степени значения аппроксимирующей функции у концов отрезка

(это свойство позволяет использовать полиномы Чебышева для равномерного приближения функции)

2. Понятие о равномерном приближении функций.

До сих пор мы рассматривали квадратичную аппроксимацию функций, при котором минимизировалось среднее квадратичное отклонение (СКО).

– СКО на множестве точек

– СКО при интегральной аппроксимации

(т.е. на отрезке )

При квадратичной аппроксимации достигается выполнение неравенства

для «подавляющего большинства» значения аргумента

Для интервалов иусловие может не выполняться.

При равномерном приближении выполняются более жесткие условия:

Гарантировать, чтобы на всем отрезке отклонение функции и было меньше заданной величины.

Абсолютным отклонением на обобщенного полинома от данной непрерывной функции называется число

Если для всех точек на отрезке , то обобщенным полином на равномерно приближает функцию с точностью до .

Если степень полинома фиксирована, то задача становиться таким образом: подобрать коэффициент полинома так, чтобы величина

была минимальной.

Полином , дающий минимум величине , называется полиномом наилучшего приближения или полиномом, наименее отклоняющимся от на множестве .

Если , тогда полином , дающий минимум величине называется полиномом, наименее отклоняющимся от нуля.

Если полином ищется в виде ,

(т.е. когда коэффициенты при старшей степени равен 1), то полиномом, наименее отклоняющимся от нуля, является полином Чебышева.

Легко построить наименее отклоняющийся от нуля на данном отрезке полином степени m со старшим коэффициентом, равным единице.

Действительно, подстановка

Преобразует отрезок в отрезок , причем старший коэффициент (при ) будет равен . Отсюда

(6)

Так как для полинома отклонение от нуля равно , то для полинома отклонение от нуля равно

(7)

Пример: С помощью полинома первой степени наилучшим образом равномерно приблизить функцию на отрезке .

Решение: Требуется определить А и В так, чтобы величина была наименьшей.

Следовательно, полином наименее отклоняется от нуля на отрезке .

Из формулы (6) получаем, полагая , .

, (так как )

Так как .

Таким образом:

Причем (из формулы (7) )

Геометрически график - средняя параллель между секущей, проходящей через две крайние точки и , и касательной, параллельной этой секущей.