21 Понятия эпсилон-окрестности точки, предельной точки, замкнутого множества, ограниченного множества, точки локального (глобального) и условного (безусловного) экстремума.

Множество ДRⁿ наз ограниченным множеством, если расстояние ρ(х,у) = х-у между 2 любыми точками х и у Д меньше некоторого числа l < ∞, т.е. если х,уД ρ(х,у) = √_i=1ⁿ(x_i-y_i)² < l < ∞

Эпсилон-окрестностью O_(z) точки zRⁿ наз множество точек, отстоящих от z менее чем на , т.е. O_(z)={ хRⁿ : ρ(х,z) < }

Точка zRⁿ наз предельной точкой множества Д, если есть последовательность принадлежащих множеству Д точек x_nД, предел кот равен точке z: lim_n→∞x_n=z.

Множество Д наз замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки (отрезок)/

Незамкнутое множество – это интервал, в кот не входят крайние точки.

Множество Д наз компактным множеством, если оно одновременно ограничено и замкнуто

Точка xД наз внутренней точкой множества Д если  >0 : O_(x)Д В противном случае точка наз граничной точкой множества Д

Точка z Д наз точкой условного локального max(min) функции f(x) в области Д если существует эпсилон-окрестность точки z, такая что xO_(z)Д f(x)≤f(z) – для max (f(x)≥f(z) – для min)

Точка zД наз точкой условного глобального max(min), если f(x)≤f(z) xД (f(x)≥f(z) xД)

Экстремум функции f(x) – это либо ее max, либо ее min.

Говорят, что функция f(x) имеет в точке zД локальный (глобальный) безусловный экстремум если точка z является точкой локального (глобального) max или min во всей области определения функции f(x).

22. Понятия частной производной функции, стационарной точки функции, градиента и матрицы Гессе.

Частной производной f’x_j(z) = df(z)/dx_j первого порядка функции f(x) в точке z по переменной x_j наз величина: f’x_j(z) = lim_0 (f(z₁,z₂,…, z_j-1, z_j+j, z_j+1,…z_n)-f(z))/j \

Т.о. частная производная функции f(x) по переменной x_j определяется точно так же как обычная производная по переменной x_j при условии, что все другие переменные при этом являются const.

Говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке zRⁿ, если у неё в этой точке существуют все частные производные 1ого порядка по всем аргументам.

Говорят, что функция f(x) непрерывно дифференцируема в точке zRⁿ, если все ее частные производные 1ого порядка непрерывны.

Точка zRⁿ наз стационарной точкой функции f(x), если все частные производные 1ого порядка равны 0, т.е. f’x_j(z) = 0.

Частной производной второго порядка f”x_ix_j(z) = ²f(z)/x_ix_j функции f(x) в точке z наз частная производная первого порядка от частной производной первого порядка.

Квадратная матрица H_nxn=(h_ij)_nxn наз матрицей Гессе функции f(x) в точке z, если ее элементы определяются: h_ij= f”x_ix_j(z).

Выражение G (H, x) = x^T Hx = ∑_i=1ⁿ∑_j=1ⁿ h_ij x_i x_j наз квадратичной формой матрицы H_nxn=(h_ij)_nxn

Градиентом f(x) функции f(x) в точке z наз вектор, компонентами кот являются частные производные 1ого порядка функции ^Tf(z)=(f’x₁(z), f’x₂(z)_,… , f’x_n(z))

23 Понятие квадратичной формы матрицы. Понятие положительной (отрицательной) определённости матрицы

Выражение G (H, x) = x^T Hx = ∑_i=1ⁿ∑_j=1ⁿ h_ij x_i x_j наз квадратичной формой матрицы H_nxn=(h_ij)_nxn

Квадратная матрица Н наз положительно (неотрицательно) определённой, если справедливо соотношение x0 G(Н,x) >0 .

Квадратная матрица Н наз отрицательно (неположительно) определённой, если справедливо соотношение x0 G(Н,x) <0

Матрица Н наз неопределенной матрицей, если приведенное выше соотношение не выполняется.