29.Доверительный интервал

До сих пор мы находили различные числовые характеристики выборки, которые определяются одним числом. Такие оценки называются точечными. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Поэтому для небольших выборок следует пользоваться интервальными оценками. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальная оценка позволяет установить точность и надежность оценок, а сами интервалы в этом случае называются доверительными.

Доверительным интервалом называется интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью α.

В педагогике наиболее распространенным является оценка математического ожидания a случайной величины X, распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении σ. В этом случае для оценки математического ожидания a служит интервал:

где – точность оценки, n – объём выборки, – выборочное среднее, t – аргумент функции Лапласа, при котором .

Рассмотрим пример. Пусть среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенного признака X генеральной совокупности равно 5, объём выборки n равен 100 и выборочное среднее . Найдем доверительный интервал математического ожидания a при α=0,9.

Все величины, кроме t, известны. Найдем t по специальной таблице, исходя из соотношения Получим, что t=1,65, следовательно:

или 19,175≤a≤20,825.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что математическое ожидание генеральной совокупности с вероятностью α=0,9 окажется внутри полученного интервала.

Во многих педагогических задачах требуется установить и оценить зависимость одной случайной величины от другой. Две случайные величины могут быть связаны функциональной зависимостью, что случается крайне редко, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется выборочная средняя другой. В этом случае статистическую зависимость называют корреляционной.

Доверительный интервал — это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью.

30.Распределение стьюдента

. Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений

Определение

Пусть — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где

называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

,

где — гамма-функция Эйлера.

Свойства распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента симметрично. В частности если , то .

Моменты

Случайная величина имеет только моменты порядков , причём

, если нечётно;

, если чётно.

В частности,

,

, если

Моменты порядков не определены.

Связь с другими распределениями

Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при Пусть дана последовательность случайных величин где . Тогда

по распределению при .

Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть t˜t(n). Тогда

t2˜F(1,n).

Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть независимые случайные величины, такие что . Обозначим выборочное среднее этой выборки, а S2 её выборочную дисперсию. Тогда

. Распределение Стьюдента по сути представляет собой сумму нескольких нормально распределенных случайных величин. Чем больше величин, тем больше верятность, что их сумма будет иметь нормальное распределение. Таким образом, количество суммруемых величин определяет важнейший параметр формы данного распредения

t-распределение Стьюдента

t-распределение Стьюдента - это непрерывное одномерное распределение с одним параметром - количеством степеней свободы. Форма распределения Стьюдента похожа на форму нормального распределения (чем больше число степеней свободы, тем ближе распределение к нормальному). Отличием является то, что хвосты распределения Стьюдента медленнее стремятся к нулю, чем хвосты нормального распределения.

Обычно распределение Стьюдента появляется в задачах, связанных с оценкой математического ожидания нормально распределенных случайных величин. Пусть X1 , ..., Xn - независимые случайные величины, нормально распределенные с математическим ожиданием μ и дисперсией σ 2. Тогда мы можем получить следующие оценки для параметров μ и σ 2:

При этом оценка математического ожидания не равна в точности μ, а лишь колеблется вокруг этой величины. Разность истинного математического ожидания и рассчитанного на основе выборки, поделенная на масштабирующий коэффициент

имеет распределение, которое называется распределением Стьюдента с N степенями свободы. Есть и другие разделы статистики, в которых появляются случайные величины, распределенные по Стьюденту. Например, распределение Стьюдента используется при оценке значимости коэффициента корреляции Пирсона.