2. 1. 6. Проецирование пространственного изображения тела на плоскость

Положение точек тела в пространстве определяется массивами трех координат (X, Y, Z). При построении изображения точки тела проецируются на плоскость, например, XoY - плоскость экрана. Координаты проекции точки (Xp, Yp) зависят от значения всех трех координат (X, Y, Z), что создает иллюзию пространственного изображения тела. Поворачивая тело вокруг неподвижной точки можно строить проекции различных положений тела в пространстве на плоскость экрана. Поворот тела вокруг начала системы координат можно представить в виде последовательного поворота вокруг каждой из осей, так как при этом расстояние от точки до начала координат не меняется. Приведем зависимости координат точки при повороте тела вокруг осей координат X, Y, Z. Используется правая система координат.

Y Y

*

X

Z X

Z

При повороте тела вокруг оси "X" на угол "fix" новые координаты точки (X₁,Y₁,Z₁) находятся по формулам:

X₁=X; Y₁= Y*cos(fix)- Z*sin(fix); Z₁= Z*cos(fix)+ Y*sin(fix);

При повороте тела вокруг оси "Y" на угол "fiy" новые координаты точки (X₁,Y₁,Z₁) находятся по формулам:

Y₁=Y; X₁= X*cos(fiy)+ Z*sin(fiy); Z₁= Z*cos(fiy)- X*sin(fiy);

При повороте тела вокруг оси "Z" на угол "fiz" новые координаты точки (X₁,Y₁,Z₁) находятся по формулам:

Z₁=Z; X₁= X*cos(fiz)- Y*sin(fiz); Y₁= Y*cos(fiz)+ X*sin(fiz);

При параллельном переносе тела вдоль осей X, Y, Z на вектор (Wx, Wy, Wz) новые координаты точки (X₁, Y₁, Z₁) находятся по формулам:

X₁= X + Wx; Y₁= Y + Wy; Z₁= Z + Wz;

Некоторые виды поверхностей образуются следом линии (образующей) движущейся в пространстве по заданному закону. Например, поверхности вращения с осью симметрии "Y" получаются при вращении образующей вокруг оси "Y". Некоторые поверхности можно получить перемещением образующей вдоль другой линии (направляющей). Если через определенные моменты времени фиксировать "M" раз положение образующей и рисовать след "N" точек на образующей, то получим сетчатую поверхность, задаваемую в пространстве положением "N*M" точек (узлов).

Приведем пример операторов для построения сетчатой поверхности (цилиндра), полученной при вращении образующей (прямой линии, лежащей в плоскости XoY) вокруг оси "Y".

126

Пусть "i" - число точек на образующей i=1, 2, 3, . . , N, а "j" - число точек, зафиксированных на ее следе j=1, 2, 3, . . , M. Определим координаты точек образующей:

for i:= 1 to N do begin x[i]:= R; y[i]:=y0+h*i; z[i]:= 0 end;

Здесь R - радиус цилиндра, h - шаг сетки по оси "Y", .

y0 - координата по оси "Y" первой точки образующей.

Определим координаты массивов Xf, Yf, Zf узлов сетчатой поверхности:

for j:= 1 to M do begin fiy:=2*Pi*(j-1)/(M-1);

for i:= 1 to N do begin Yf[i,j]:= Y[i];

Xf[i,j]:= X[i]*cos(fiy);

Zf[i,j]:= -X[i]*sin(fiy);

end; end;

Здесь fiy - угол поворота образующей вокруг оси "Y" при задании поверхности.

Для обзора поверхности определим проекции узлов на плоскость экрана при заданных углах поворота поверхности вокруг осей координат:

fix:=pi/12; fiz:=pi/16; fiy:=Pi/12;

for j:= 1 to M do

for i:= 1 to N do begin

X1:=Xf[i,j]; Y1:=Yf[i,j]*cos(fix) - Zf[i,j]*sin(fix);

Z1:=Zf[i,j]*cos(fix) + Yf[i,j]*sin(fix);

Y2:= Y1; X2:= X1*cos(fiy) + Z1*sin(fiy);

Z2:= Z1*cos(fiy) - X1*sin(fiy);

Xp[i,j]:= X2*cos(fiz) - Y2*sin(fiz);

Yp[i,j]:= Y2*cos(fiz) + X2*sin(fiz);

end;

Построим сетчатую поверхность:

for j:= 1 to M-1 do begin moveto_g(Xp[1, j], Yp[1, j]);

for i:= 1 to N do begin

{setlinestyle(0,0,3); ch:=readkey; if ch='n' then setlinestyle(1,0,1);}

lineto_g(Xp[i,j], Yp[i,j]);

line_g(Xp[i,j], Yp[i,j], Xp[i,j+1], Yp[i,j+1]);

end; end;

Здесь операторы в скобках { } помогут Вам построить невидимые линии при нажатии клавиши n, для построении видимых линий следует держать нажатой любую клавишу.

Практическое задание N 2. 10

1. Построить проекцию поверхности, полученной вращением вокруг оси "Y" образующей: 1. 1 Конуса: xi=x₀+h*i; yi=a*xi; zi:=0; a- тангенс угла наклона образующей.

1. 2 Параболоида вращения: xi= x₀+h*(i-1); yi=A*xi² + y₀; zi= 0;

1. 3 Однополостного гиперболоида: xi=R+h*(i-1); yi= A*  ((xi/R)² -1); zi= 0;

1. 4 Двухполостного гиперболоида: xi= h*(i-1); yi=  A*  ((xi/R)² +1); zi= 0;

1. 5 Эллипсоида: ti=Pi*(i-1)/(n-1); xi=A*sin(ti); yi=B*cos(ti); zi=0;

1. 6 Тора: ti=2*Pi*(i-1)/(n-1); xi=A+C*cos(ti); yi=B*sin(ti); zi=0; (A>C).

2. Построить проекцию поверхности, полученной перемещением вдоль оси "Y" образующей: 2. 1 Параболического цилиндра: xi=A*h*(i-n/2); yi=0; zi=xi² /B-C;

2. 2 Гиперболического цилиндра: xi=A*h*(i-n/2); yi=0; zi=  B*  ((xi/R)² +1);

127