Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение.

Мы уже знаем, что при распространении колебательного процесса в среде скорость движения каждой колеблющейся точки непрерывно меняется по величине и зависит от амплитуды и фазы гармонических колебаний частицы. В противоположность этому скорость перемещения фронта данной волны в однородной среде постоянна. Она зависит только от свойств среды и характера колебания.

Будем рассматривать бегущие волны – волны, которые переносят в пространстве энергию. Количественно перенос энергии волнами характеризуется вектором плотности потока энергии. Для упругих волн этот вектор называется вектором Умова и по направлению он совпадает с направлением переноса энергии; по модулю вектор Умова равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению, распространения волны.

Для вывода уравнения бегущей волны – зависимости смещения колеблющейся частицы среды от координат и времени – рассмотрим гармоническую поперечную плоскую волну, предполагая, что ось оХ совпадает с направлением распространения волны ( рис. 11.1 ). В этом случае волновые поверхности будут перпендикулярны оси оХ, а смещение ζ будет зависеть только от х и t, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково.

Пусть в плоскости х=0 колебание точек среды описывается функцией ζ ( 0,t )= = A Cos ωt ( источник колебаний находится в точке О, начальная фаза колебаний равна нулю ). Если точка В находится на расстояние х от источника колебаний, то ее колебания тоже будут описываться этим же законом, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на промежуток времени τ = x / V ( фазовая скорость распространения волны V- конечна! ). Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х будет иметь вид:

. ( 11.3 ).

Из уравнения (11.3) следует, что функция ξ ( x, t ) является не только периодической функцией времени, но и периодической функции координаты х. Уравнение ( 11.3 ) есть уравнение плоской бегущей волны ( уравнение луча ). В общем случае, для среды, не поглощающей энергию:

. ( 11.4 ).

В уравнении ( 11.4 ) А=const – амплитуда волны, ω - циклическая частота, φ₀ - начальная фаза волны, - фаза плоской волны.

Помимо этих характеристик для описания волн используют и другие специфические характеристики.

Величина

, ( 11.5 ).

называется волновым числом. Его используют для записи уравнения плоской волны в ином виде ( иногда более удобном для решения задач ):

( 11.6 ).

Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т.е.:

. ( 11.7 ).

Продифференцируем это выражение, учитывая, что меняются только t и x :

. ( 11.8 ).

• из выражения ( 11.8 ) следует, что скорость распространения волны, входящая в качестве параметра в уравнение ( 11.4 ) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, которую называют фазовой скоростью. Из выражения (11.5) следует, что фазовая скорость

V_ф. = ω / k ( 11.9 ).

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных.

или ( 11.10 )

,

где V- фазовая скорость волны, - оператор Лапласа.

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси оХ, волновое уравнение будет иметь вид:

. ( 11.11 ).

Прямая подстановка выражения ( 11.4 ) в уравнение ( 11.11 ) показывает, что решением волнового уравнения является функция синуса или косинуса.