- •Часть I лекционного курса "механика. Кинематика. Динамика. Лекция № 10.
- •Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
- •Сложение гармонических колебаний с близкими периодами. Биения.
- •Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
- •Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.
- •Резонанс.
Часть I лекционного курса "механика. Кинематика. Динамика. Лекция № 10.
Сложение гармонических колебаний. Биения. Фигуры Лиссажу. Затухающие колебания. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент. Добротность. Вынужденные колебания. Резонанс.
Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах одновременно, поэтому возникает проблема нахождения результирующего колебания, иными словами, колебания необходимо сложить. Если использовать механическую аналогию, то колебания могут быть, как одного направления, так и различного, частоты колебаний могут быть, как одинаковыми, так и различными.
Рассмотрим сложение гармонических колебаний одного направления и одной частоты. Пусть колебания происходят вдоль оси оХ:
x1 = A1 cos ( ω0 t + φ1 )
( 10.1 )
x2 = A2 cos ( ω0 t + φ2 )
Тогда результирующее колебание будет равно алгебраической сумме обоих смещений ( т.е. сумме с учетом знака слагаемых ):
XΣ = x1 +x2 = A1 cos ( ω0 t + φ1 ) + A2 cos ( ω0 t + φ2 ) ( 10.2 )
Поскольку х1 и х2 спустя промежуток времени T0 = 2π / ω0 возвращаются к своим первоначальным значениям, то их сумма XΣ представляет собой периодическое колебательное движение с тем же самым периодом.
Для анализа характера этого движения построим векторную диаграмму ( см. рис. 10.1 ). Из рисунка 10.1 так же видно, что величина XΣ будет меняться со временем по закону: XΣ = АΣ cos ( ω0 t + φΣ ), , т.е. представлять собой гармоническое колебание с тем же самым периодом.
Амплитуда АΣ и начальная фаза φΣ этого результирующего гармонического колебания находятся из простых тригонометрических соотношений, вытекающих из векторной диаграммы ( формулы треугольника ):
Рис. 10.1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
, ( 10.3 )
. ( 10.4 )
Из формулы ( 10.4 ) видно, что амплитуда результирующего колебания лежит в интервале значений .
Если фазы обоих колебаний одинаковы, т.е. , то - говорят, что колебания синфазны.
Если же , то говорят, что колебания происходят в противофазе. В этом случае и из формулы ( 10.4 ) следует, что для амплитуды результирующего колебания будет иметь место соотношение :
( 10.4 а )
В частности, если таким образом складываются два колебания с одинаковыми амплитудами, то для получаем, что - оба колебания "гасят" друг друга и как бы уничтожаются.
Сложение гармонических колебаний с близкими периодами. Биения.
Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.
Периодическое изменение амплитуды результирующего колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Для простоты рассуждений положим, что амплитуды колебаний равны А=А1 =
= А2, а частоты соответственно равны , причем . Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:
. ( 10.5 ).
Используя известные тригонометрические тождества ( т.н. формулы приведения ), результирующее колебание можно записать в следующем виде:
. ( 10.6 ).
Выражение ( 10.6 ) представляет собой произведение двух сомножителей и результирующее колебание можно рассматривать, как гармоническое с частотой , амплитуда Аб которого изменяется по гармоническому закону:
. ( 10.7 ).
Частота изменения Аб в два раза больше частоты изменения косинуса ( т.к. значение амплитуды берется по модулю ), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний: .Соответственно, период биений будет равен .
График результирующего колебания приведен на рис. 10.2, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания ( см. ф-лу 10.6 ), а огибающие их пунктирные линии – график медленно меняющейся в соответствии с уравнением ( 10.7 ) амплитуды колебаний.
Рис. 10.2. Возникновение биений при сложении колебаний с близкими частотами .(рис. 204 из Трофимовой).
Из графика на рис. 10.2 наглядно видно, что в те моменты времени, когда фаза1 фаза 2, то колебания складываются и . Поскольку частоты исходных колебаний все же несколько отличаются друг от друга, то спустя некоторый промежуток времени одно из колебаний отстанет от другого по фазе на радиан - фазы колебаний станут почти противоположными и . Именно такое периодически повторяющееся возрастание и убывание амплитуды результирующего колебания и есть биения.
Биения - наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины частоты колебаний с эталонной для колебательных процессов.