Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого либо периодически действующего фактора X(t), изменяющегося по гармоническому закону: .

Если рассматривать механические колебания, то роль фактора X( t ) может играть внешняя вынуждающая сила:

. . ( 10.20 ).

По аналогии с методом получения уравнения свободных затухающих колебаний мы можем записать уравнение, учитывающее как затухание в системе, так и наличие внешней вынуждающей силы:

,

или после преобразований :

. ( 10.21 ).

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными механическими колебаниями. Уравнение (10.21) называются уравнением вынужденных колебаний.

Как известно из курса высшей математики, решение этого уравнения представляет собой сумму свободных затухающих колебаний S_своб..( t ) и вынужденных колебаний S_вын. ( t ):

. . ( 10.22 ).

Мы уже знаем, что свободные затухающие колебания будут происходить с собственной угловой частотой и довольно быстро затухнут в соответствии с уравнением ( 10.15 ). Что же касается вынужденных колебаний, то их частота должна, очевидно, совпадать с частотой вынуждающей силы. Амплитуда этих колебаний должна быть постоянной, поскольку амплитуда вынуждающейся силы не меняется со временем.

Решение уравнения для свободных затухающих колебаний мы уже знаем:

; ( 10.23 ).

Решение для вынужденных колебаний будем искать в виде:

. (10.24).

с неизвестными заранее амплитудой вынужденных колебаний А_вын. и сдвигом фазы φ_вын. . Найдем производные от выражения ( 10.24 ):

и подставим эти выражения в уравнение ( 10.21 ) :

. ( 10.25 ).

Учтем известные из тригонометрии соотношения:

Cos ( α + β ) = Cos α Cos β – Sin α Sin β ( 10.26 а )

Sin ( α + β ) = Sin α Cos β + Cos α Sin β ( 10.26 б ).

Распишем почленно уравнение ( 10.25 ):

-

( 10.27 ).

Сгруппируем члены ( сомножители ) при и :

+

( 10. 28 )

Уравнение ( 10.28 ) может быть удовлетворено для любого момента времени t, если множитель при Sin ω_вын. t будет тождественно равен нулю, т.е. если не будет удовлетворено тождество ( поскольку и в левой, и в правой части уравнения будут содержаться только сомножители, содержащие :

( 10.29 ).

откуда следует, что:

. (10.30).

Из уравнения ( 10.30 ) выразим Cos φ_вын. и Sin φ_вын. через tg φ_вын.

. (10.31).

. (10.32).

Для решения уравнения ( 10.28 ) необходимо так же, чтобы коэффициенты при были равны:

. (10.33).

Подставляя в уравнение ( 10.33 ) соотношения ( 10.31 ) и ( 10.32 ), найдем выражение для А_вын. :

=

= ( 10.34 ).

Таким образом, частное решение неоднородного дифференциального уравнения ( 10.21 ) будет иметь вид:

(10.35).

В начальной стадии процесса при установлении колебаний существенную роль будут играть « свободные » колебания, задаваемые уравнением ( 10.23 ), а затем все большую роль начинают играть вынужденные колебания, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемых уравнением ( 10.35 ) ( см. рис. 10.6 ).

Рис. 10.6. Процесс установления вынужденных колебаний.(рис. 209 из Трофимовой).

Из уравнения ( 10.35 ) следует, что в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω_вын. и являются гармоническими, поскольку вынуждающая сила подчиняются гармоническому закону. При этом амплитуда вынужденных колебаний А_вын. и фаза φ_вын. зависят от ω_вын. .