Основной закон динамики вращательного движения.

Если использовать аналогию между поступательным и вращательным движением тела, которую мы установили ранее: m I; ; , то фактически основной закон динамики вращательного движения, соответствующий II закону Ньютона для поступательного движения мы уже получили – это уравнение ( 6.18 ) или ( 6.22 ) ( для изолированной системы частиц - уравнение ( 6.23 )). Соответствие в этом случае формально будет выглядеть так:

. .

Однако можно переписать уравнение ( 6.22 ) так, чтобы получить соответствие форме записи II закона Ньютона в виде: .

Рассмотрим вращение твердого тела, имеющего закрепленную в пространстве ось вращения. Пусть угловая скорость вращения при этом равна . Вращение твердого тела обеспечивается моментом внешних сил ., например, от действий внешней силы ( см. рис. 6.9 ).

Рис. 6.9. К выводу основного закона динамики вращательного движения.

Разобьем тело на i элементов, так что m_i масса i- го элемента, r_i - радиус вектор элемента массой m_i, Vi- линейная скорость i- го элемента. При вращении тела вокруг оси О элементы тела будут вращаться по окружностям с радиусами r_i = |, а вектор линейной скорости Vi i –го элемента будет перпендикулярен r_i : . Для i-го элемента тела можно будет найти момент импульса:

( 6.24 )

При выводе соотношения (6.24) мы использовали связь между угловой и линейной скоростями материальных точек, составляющих твердое тело: V_i = r_i ( в векторной форме: ).

Просуммируем уравнение ( 6.24 ):

. ( 6.24а )

Из уравнения ( 6.24 ) следует, что .

Теперь используем совместно уравнения ( 6.22 ) и ( 6.24а ):

. ( 6.25 ).

Уравнение ( 6.25 ) называется основным уравнением ( законом ) динамики вращательного движения. В таком виде это уравнение является аналогом основного уравнения динамики поступательного движения . Только в уравнении ( 6.25 ) роль силы играет момент силы, роль массы играет момент инерции тела, а роль линейного ускорения – угловое ускорение В уравнении ( 6.25 ) возможны ситуации, когда или ( при замедленном вращении ) - аналогия с уравнениями для поступательного движения тела сохраняется и в этом случае.

Кинетическая энергия вращательного тела.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О ( см. рис. 6.10 ) с угловой скоростью . Разобьем твердое тело на i элементарных частей массой m_i , находящихся на расстоянии r_i от оси вращения и имеющих скорость V_i.

Тогда кинетическую энергию каждой части материального тела можно будет выразить следующим образом:

. ( 6.26 ).

Рис. 6.10. К выводу формулы для кинетической энергии вращающегося твердого тела ( относительно не подвижной оси ).

Поскольку кинетическая энергия тела слагается из кинетической энергии его составляющих частей, то:

. ( 6.27 ).

Если твердое тело одновременно движется поступательно и вращается, то его кинетическая энергия будет складываться из кинетической энергии поступательного движения со скоростью V и кинетической энергии вращательного движения вокруг некоторой оси с угловой скоростью :

, ( 6.28 )

где Vc – скорость поступательного движения центр масс тел, Ic - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Таким образом, кинетическая энергия тела при сложном движении слагается из кинетической энергии его поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс и энергии вращения вокруг оси, проходящих через центр масс тела.