Лабораторная работа № 3

Применение основных моделей теории вероятностей

для расчета показателей безотказности машин

I. Цель работы:

- ознакомление с основными моделями расчета в теории вероятностей для расчета показателей безотказности технологических машин;

- расчет показателей безотказности технологических машин.

II. Основные теоретические сведения.

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий является - случайное событие. Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.

Теория вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на понятия теории множеств.

Множество – это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества.

Предположим, что производится некоторый опыт (испытание), результат которого заранее неизвестен. Тогда множество всех возможных исходов опыта представляет пространство элементарных событий, а каждый его элемент   (отдельный исход опыта) является элементарным событием. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества   и является случайным событием, т. е. любое событие А – это подмножество множества : А .

В общем случае, если множество содержит n элементов, то в нем можно выделить 2ⁿ подмножеств (событий).

Совместные (несовместные) события – такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.

Зависимые (независимые) события – такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.

Противоположное событие относительно некоторого выбранного события А – событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается ).

Полная группа событий – такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности.

Аксиомы теории вероятностей. Вероятность события А  обозначается P(A) или P{A}. Вероятность выбирают так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям или аксиомам:

Если Ai и Aj несовместные события, т. е. Ai Aj = , то

где - знак логического сложения событий, – пустое множество (отсутствие событий).

Последняя аксиома обобщается на любое число несовместных событий

{Аi }ⁿ _i=1 :

Частотное определение вероятности любого события А:

представляет отношение числа случаев (m_A), благоприятных появлению события А, к общему числу случаев (возможному числу исходов опыта) n.

При неограниченном возрастании числа n наблюдается статистическое упорядочение, когда частота события А (выборочная оценка) все меньше изменяется и приближается к постоянному значению -  вероятности события А.

Теорема сложения вероятностей. Если А₁, А₂, …, А_n - несовместные события и А – сумма этих событий, то вероятность события А равна сумме вероятностей событий А₁, А₂, …, А_n:

Поскольку противоположные события А и несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий А₁ и А₂ равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, в предположении, что первое событие произошло:

где условная вероятность события А₁ при наступлении события А₂ – вероятность события А₁, вычисленная в предположении, что событие А₂ произошло:

Для любого конечного числа событий теорема умножения имеет вид

Если события А₁ и А₂  независимы, то соответствующие условные вероятности

поэтому теорема умножения вероятностей (8) принимает вид

а для конечного числа n независимых событий

Следствия основных теорем - формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса находят широкое применение при  решении большого числа задач.

Формула полной вероятности. Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H₁, H₂, … H_n, представляющих полную группу несовместных событий (для которой  P(i)=1), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:

(1)

где P(Hi) – вероятность гипотезы Hi; P(А| Hi) – условная вероятность события А при гипотезе Hi.

Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H₁, H₂, … H_n, то      А= АH₁ АH₂ … АH_n  , но  H₁, H₂, … H_n несовместны, поэтому

При зависимости события А от появления гипотезы Hi 

P(AHi) = P(Hi)· P(А| Hi),

откуда и следует выражение (1).

Формула Байеса (формула вероятностей гипотез). Если до опыта вероятности гипотез H₁, H₂, … H_n были равны P(H₁), P(H₂), …, P(H_n), а в результате опыта произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются:

Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H₁), P(H₂), …, P(H_n) называются априорными, а послеопытные - P(H₁| А), … P(H_n| А) – апостериорными.

Формула Байеса позволяет «пересмотреть» возможности гипотез с учетом полученного результата опыта.

Если после опыта, давшего событие А, проводится еще один опыт, в результате которого может произойти или нет событие А₁, то условная вероятность этого последнего события вычисляется по (1), в которую входят не прежние вероятности гипотез P(Hi), а новые - P(Hi| А):

Полученной выражение называют формулой для вероятностей будущих событий.

III. Условия проведения работы.

Для проведения работы студентам предоставляются методические указания, и преподаватель знакомит их с основными моделями расчета в теории вероятностей для расчета показателей безотказности технологических машин и приводит примеры задач и их решение.

IV. Проведение лабораторной работы.

Выполнение работы заключается в изучении основных теоретических сведений (п. II) и проведения расчета показателей безотказности технологических машин.

Порядок выполнения работы.

Подробно изучить основные теоретические сведения и выполнит расчет показателей безотказности технологических машин по заданию

V. Содержание и оформление отчета.

Отчет должен содержать:

- название и цель работы;

- решение задач:

а) Прибор может работать в двух режимах: «1» и «2». Режим «1» наблюдается в P1 % случаев, режим «2» - в P2 % случаев за время работы T. Вероятность того, что прибор откажет при работе в режиме «1» равна 0.3, а вероятность отказа прибора в режиме «2» - 0.8. Найти вероятность отказа прибора за время T?

№ вар.	P1 %	P2 %	№ вар.	P1 %	P2 %
1	10	90	11	10	90
2	20	80	12	20	80
3	15	75	13	15	75
4	5	95	14	5	95
5	12	88	15	12	88
6	14	86	16	14	86
7	25	75	17	25	75
8	22	78	18	22	78
9	19	81	19	19	81
10	18	82	20	18	82

б) Прибор состоит из 3-х блоков, которые независимо друг от друга могут отказать. Отказ каждого из блоков приводит к отказу всего прибора. Вероятность того, что за время T работы прибора откажет первый блок, равна P1, второй – P2, третий – 0,25. Найти вероятность того, что за время T прибор проработает безотказно?

- выводы по работе.

Библиографический список

1. Рябинин И. А. Надежность и безотказность структурно-сложных систем. СПб.: Политехник, 2000. 125 с.

2. Проников А.С. Надежность машин. М.: Машиностроение, 1978. 591 с.