Вопрос7.

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Выберем декартову систему координат, расстояние между фокусами обозначим через 2с, постоянную величину через 2а

Т М(х;у) – произвольная точка гиперболы, тогда |F₁M-F₂M| = 2a

По формуле нахождения расстояний между 2-мя точками:

MF1 – MF2 = ±2a,

обозначим , получаем каноническое уравнение гиперболы:

Оси симметрии гиперболы – это ox и оу. Точка их пересечения - это центр гиперболы.

А₁А₂=2а – действительная ось

В₁В₂ =2в - мнимая ось гиперболы

Прямоугольник со стороной 2а и 2в и центром в начале координат – основной прямоугольник гиперболы

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

Гипербола с действительной осью = 2в, и мнимой = 2а имеет уравнение:

Вопрос33.

Непрерывность функции в точке

Пусть y=f(x) – определена в некоторой окрестности в т. х₀ и в самой точке

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если в этой точке существует предел и он = значению функции в этой точке

(1)

Если это равенство не выполняется, то говорят, что ф-я имеет разрыв в т х₀

1.Пример

f(x)=х₂

х=2

f(2)=4

Исходная функция непрерывна

2. Пример

f(х)= х², х=2

1, х=2

f(2)=1

, то f(x) имеет разрыв

Преобразуем равенство1

т.к. предел постоянной = самой постоянной

- приращение аргумента

- приращение функции

(2) Из равенства 1 следует равенство 2 , 1 и 2 равносильны

Определение. Функция f(x) непрерывная в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соотв. бесконечно малое приращение функции. , т.е. выполняется равенство 2.

f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x)

Функция называется непрерывной в т х₀, если в этой точке существует левый и правый пределы и = между собой и = значению функции в этой точке (выполняется неравенство 3)

Вопрос 9

Уравнение плоскости, проходящее через данную точку

Положение плоскости в декартовой системе координат определяется заданной точкой на плоскости и ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости.

Пусть на плоскости дана точка М₀(х₀, у₀, z₀), и известен вектор перпендикулярный плосткости (A, B, C). Берём на плоскости произвольную точку М(х, у, z). Вектор лежит в плоскости. Следует векторы и перпендикулярны, т.е выполняется равенство: и * =0

(скалярное произведение векторов).

=-

(- )=0

=(х₀, у₀, z₀), =(х, у, z).

(- )= (х- х₀, у- у₀, z- z₀₎

Условие перпендикулярности двух векторов : A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0. Это уравнение плоскости, проходящей через т. М₀(х₀, у₀, z_{0) и перпендикулярной вектору} (A, B, C)

Преобразуем это уравнение , раскрыв скобки

Ax + By + Cz + ( - Axо – Byо – Сzo) =0

Введём обозначение D= -Axо – Byо – Сzo

В результате получаем Ax + By + Cz+D =0 это Общее уравнение плоскости