6. Эквивалентность формул и тождества

Рассмотрим формулы: и . Их таблицы истинности представлены ниже в таблице 12.

x	y	х	у
0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0
1	1	0	0	1	1
Таблица 12

Как видно из таблицы 12, на одинаковых наборах значений переменных обе формулы принимают одинаковые истинностные значения, т.е. реализуют одну и ту же истинностную функцию.

Две формулы А и В называются эквивалентными, если функции f_A и f_B, соответствующие им, эквивалентны или равны, т.е. f_A=f_B. Для обозначения эквивалентных формул традиционно используется запись А=В, которую называют тождеством.

Следующие тождества характеризуют важнейшие свойства элементарных функций: {0, 1, , &, }. (Обозначим «∘» любую из функций: {&, , }.)

((x∘y)∘z)=(x∘(y∘z)) – свойство ассоциативности;

(x∘y)=(y∘х) – коммутативность;

конъюнкция и дизъюнкция дистрибутивны друг относительно друга: ((x  y) & z) = ((x & z)  (y & z)) ((x & y)  z) = ((x  z) & (y  z));

– закон двойного отрицания;

– законы Де Моргана для конъюнкции и дизъюнкции;

(х & х) = x; (x  x) = x – законы идемпотентности;

– закон исключенного третьего;

– закон противоречия;

(х & 0) = 0, (x  0) = x – умножение на ноль и сложение с нулем;

(х & 1) = х, (x  1) = 1 – умножение на единицу и сложение с единицей;

((х & y)  x) = x, ((х  y) & x) = x – законы поглощения.

Все тождества легко проверяются с помощью таблиц истинности.

7. Упрощение формул

Введем некоторые соглашения о записи и вычислениях формул.

В формулах будем опускать внешнюю пару скобок, т.е. вместо формулы (ху) будем писать выражение ху. Аналогично в выражениях со знаком отрицания вместо будем записывать .

По закону ассоциативности для операции «∘» вместо формулы ((x ∘ y) ∘ z) или (x∘(y ∘ z)) можно использовать выражение без скобок: x∘ y ∘ z. Для восстановления формулы достаточно расставить скобки, порядок которых не является существенным для вычислений.

Введем также соглашения о старшинстве операций: если в выражении с помощью скобок специально не указан порядок выполнения операций, то одинаковые по старшинству операции выполняются последовательно слева направо. Если в выражении имеются различные операции, то сначала выполняется отрицание, затем конъюнкция, дизъюнкция, импликация и т.д., самой последней выполняется эквиваленция. Скобки восстанавливаются по тому же правилу, например, в выражении хуzt скобки восстанавливаются в следующем порядке:

х(у)zt

(х(у))zt

((х(у))z)t

(((х(у))z)t)

Ввиду введенного старшинства операций не всякая формула может быть записана без скобок. Например, в выражениях х(уz) или х&(yz) дальнейшее исключение скобок невозможно, т.к. это может повлиять на значение, вычисленное по формуле.

В дальнейшем для компактности будем использовать следующую запись вместо х₁&x₂&…&x_s, а также вместо х₁x₂…x_s.

Из свойств элементарных функций следует ряд простых правил преобразования формул:

а) если один из сомножителей логического произведения равен нулю, то значение произведения также равно нулю;

б) если логическое произведение содержит не менее двух сомножителей, один из которых равен единице, то этот сомножитель можно сократить;

в) если логическая сумма содержит не менее двух слагаемых, одно из которых принимает значение ноль, то его можно сократить;

г) если хотя бы одно из слагаемых логической суммы принимает значение единица, то и вся логическая сумма равна единице;

д) пусть U¹ – подформула формулы U; если в формуле U заменить любые вхождения подформулы U¹ эквивалентной ей формулой В¹, то в результате будет получена формула В, эквивалентная исходной формуле U.

Перечисленные свойства и правила позволяют преобразовывать формулы, получая новые тождества.

Рассмотрим эквивалентные преобразования формулы: ¹= ²= ³= ⁴= ⁵=

Тождество 1 записано по правилу сокращения единичного сомножителя, тождество 2 – по правилу замены подформулы эквивалентной формулой, а именно: здесь для замены использовался закон исключенного третьего. В тождестве 3 применяется закон дистрибутивности. Тождество 4 получено по закону коммутативности. И, наконец, тождество 5 записано по закону поглощения, причем для наглядности «поглощающие элементы» подчеркнуты одинарной и двойной чертой.

Помимо описанных правил эквивалентных преобразований формул имеются также другие способы получения новых тождеств, которые основаны на понятии двойственности.