1. Эволюционные уравнения в физике. Численные методы решения эволюционных уравнений.

Эволюционные уравнения- уравнения, описывающие процессы, протекающие во времени (распространение тепла, распространение волн).

Многие прикладные и теоретические задачи приводят к диф.уравнениям. Исследование задачи может считаться законченным только после того, как это уравнения решены.

В некоторых случаях можно указать формулу. Однако, не всегда это удается. Тогда прибегают к так называемым модельным методам и методам численного решения диф.уравнений.

Название некоторых из таких методов- метод Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Чебышева, Гаусса, Эрмита и т.д.

При исследовании эволюционных задач используются энергетические неравенства, спектральные признаки, принцип максимума и др.

Многие задачи физики сводятся к интегрированию уравнений в частных производных. Эти уравнения возникают при моделировании физических полей:

эл/м, температурных, гидродинамики и т.д.

2. Типы уравнений в частных производных.

Многие задачи физики сводятся к интегрированию уравнений в частных производных.

Диф. уравнение с частными производными r-го порядка, называетсяквазилинейным, если оно линейно относительно производныхr-го порядка от неизвестной функции Ф.

Рассмотрим квазилинейные уравнения с частными производными 2 порядка с двумя независимыми переменными.

(1)

где a_i,B- заданные непрерывно дифференцируемые функции от,,,, Ф.

a² ₁₂ – a₁₁a₂₂=- дискриминант уравнения (1).

1. Если a₁₁a₂₂-a₁₂²<0 - уравнение (1) гиперболического типа.

2. Если a₁₁a₂₂-a₁₂²=0 - уравнение (1) параболического типа.

3. Если a₁₁a₂₂-a₁₂²>0 - уравнение (1) эллиптического типа.

Примеры:

Уравнение теплопроводности

( =t, =x) ,a₁₁=a₁₂= 0,a₂₂= - ,a₁₁a₂₂= 0 – параболическое.

Волновое уравнение

(=t², =x² ),a₁₁= 1,a₁₂= 0,a₂₂= -c²,a₁₁a₂₂< 0 - гиперболическое.

Уравнение Пуассона

( =t², =x²) ,a₁₁= 1,a₁₂= 0,a₂₂= 1 ,a₁₁a₂₂> 0 - эллиптическое.

3. Явление переноса в газах и жидкостях. Уравнение теплопроводности, диффузии и вязкости.

Явления переноса объединяют группу процессов, связанных с неоднородностью иили скорости беспорядочности перемещения отдельных слоев вещества. Выравнивание неоднородностей приводит к возникновению явления переноса. К явлениям переноса относятся: диффузия, внутреннее трение и теплопроводность. Явление переноса в газах и жидкостях состоит в том, что в этих веществах возникает упорядоченный, направленный перенос массы (диффузия), импульса (внутреннее трение) и внутренней энергии (теплопроводность).Явлениемдиффузии называется самопроизвольное взаимное проникновение и перемешивания частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей или твердых тел. В химически неоднородном газе, явление диффузии заключается в перенос массы газа из мест с большейв места с меньшейи подчиняется закону Фика:, (1) гдеудельный поток массы, численно равный массе вещества, которое диффундирует за единицу времени через плоскую поверхность с площадью равной 1, перпендикулярную к направлению переноса вещества,плотность,коэффициент диффузии численно равныйпри. В общем случаеи закон Фика :(1’) и,(2) гдесреднеарифметическая скорость теплового движения молекул,среднеарифметическая длина свободного пробега.Вязкость-свойство, благодаря которому выравниваются скорости движения различных слоев газов. Выравнивание скоростей соседних слоев газа происходит потому что из слоя с большей скоростью движения переносится импульс к слою, движущемся с меньшей скоростью. Рассмотрим трубу, в которой течет газ. В центре трубы скорость максимальна, к краям скорость уменьшается и скорость слоя, примыкающего к трубе =0. При таком движении импульс переносится от центрального слоя к менее быстрым слоям. Так как этот процесс связан с изменением количества движения, то газ ведет себя так, как если бы на него действовала некоторая сила трения. Поэтому данный процесс называется процессом внутреннего трения газа. Пусть изменение скорости движения газа происходит относительно осиxперпендикулярно направлению газа. Тогда количество движения, переносимое за 1 секунду через единичную площадку перпендикулярно осиxопределяется: ,(3) гдеградиент скорости вдоль осиx. Знак “-” говорит о том, что количество движения переносится от быстрого слоя к медленному,коэффициент вязкости или коэффициент внутреннего трения. Зависимость между объемом, протекающим в единицу времени через сечение трубы и требуемой для этогоустанавливается формулой Пуазейля:.(*) Зная формулу Пуазейля можно определить коэффициент вязкости. Кроме того, может быть определена через молекулярные параметры газа:, (4) гдесредняя длина свободного пробега молекул., где- радиус капилляра трубы. Если температура жидкости не постоянна вдоль ее обмена, то будет происходить перенос тепла посредствомтеплопроводности.Под этим подразумевается непосредственный молекулярный перенос энергии из мест с более высокой в места с более низкой температурой. Он не связан с макроскопическим движением и происходит также и в неподвижной жидкости. При одномерной теплопроводности, перенос энергии в форме теплоты происходит вдоль оси ох, причем справедлив закон Фурье:,(5) гдеплотность потока тепла, переносимого посредством теплопроводности – численно равной энергии, передаваемой в форме теплоты за единицу времени через плоскую поверхность единичной площади, расположенной перпендикулярно направлению переноса энергии,коэффициент теплопроводности. Уравнение Фурье может быть записано в другом виде: , где— температурапроводность,,.Итак, законы одномерных явлений переноса могут быть представлены в виде:,,. (9)Здесьмасса, которая переносится при диффузии зачерез элементарную площадь, расположенную перпендикулярно к направлению, вдоль которого происходит диффузия,количество энергии которая в форме теплоты переносится при теплопроводности зачерезрасположенную перпендикулярно оси ох,сила внутреннего трения, действующая на элемент поверхности слоя с площадью

4.Одномерное уравнение теплопроводности. Краевые и начальные условия для уравнения теплопроводности.

,и,— уравнение теплопроводности.Уравнение теплопроводности имеетмножество решений. Для выделения конкретного решения необходимы дополнительные условия. Характерными дополнительными условиями являются начальные и краевые условия.Начальные условия задают распространение температуры в заданной области в начальный момент времени и имеют вид:. Краевые условия задают поведение температуры на границе заданной области. Наиболее употребительны следующие краевые условия:1. задание на границе области температуры:2.задание на границе теплового потока,n- нормаль граничной области: 3.на граничной области линейной комбинации температуры и теплового потока, где:Совокупность уравнения теплопроводности, начальных и краевых условий образуют начально-краевую задачу для уравнения теплпроводности.