- •Матан часть 2.Производные и тд.
- •2.)Основные правила дифференцирования. Производная обратной функции. Логарифмическое дифференцирование.
- •2Теорема
- •3.)Определение дифференцируемой функции. Связь дифференцируемости функции с существованием производной.
- •4.)Дифференциал функции: определение, геометрический смысл. Свойства дифференциала. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
- •5. )Производные высших порядков: определение, производные высших порядков для суммы, произведения (формула Лейбница). Физический смысл второй производной.
- •7.)Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ролля, Лагранжа, Коши; все с доказательством).
- •1. Теорема Ролля
- •3. Теорема Коши
- •8.)Правило Лопиталя.
- •9.)Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции.
- •10.)Экстремумы функции: определение, необходимое условие экстремума (Теорема Ферма). Достаточные условия экстремума.
- •12.)Асимптоты кривой: определение, виды, нахождение.
8.)Правило Лопиталя.
Пусть x0Îℝ̄ и выполняются следующие условия:
1) функции f(x) и j(x) определены и непрерывны в некоторой d-окрестности x0, за исключением возможно самой x0;
или
3) функции f(x) и j(x) дифференцируемы в U*(x0,d) , причем
j ¢(x) ¹ 0 , "xÎU*(x0,d) .
Тогда, если (конечный или бесконечный), то
причем эти два предела будут равны. Т.е.
Правило Лопиталя можно применять только при раскрытии неопределенности вида и
Замечания.
1) Если f ¢(x) и j ¢(x) тоже являются б.м. (б.б.) при x ® x0 , то правило Лопиталя можно применить повторно.
2) Если не существует, то правило Лопиталя непри-
менимо. При этом может существовать.
9.)Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции.
Необходимое условие: Если дифференцируемая на отрезке [a,b] функция F(x) возрастает (убывает), то F’(x)0 (F’(x) 0) для х [a,b].
Необходимое условие:
Пусть F(x) возрастает на отрезке [a,b]. Придадим аргументу х приращение х и рассмотрим отношение
F(x+х)- F(x)/ х (1)
Т.к. F(x) – возрастает, то
F(x+х)> F(x) при х>0;
F(x+х)< F(x) при х<0.
В обоих случаях
F(x+х)- F(x)/ х >0, т.к. числитель и знаменатель одного знака
F’(x)= (F(x+х)- F(x)/ х) 0; (2)
т.е. F’(x)0. (Если бы было F’(x)<0, то при достаточно малых значениях отношение (1) было бы отрицательным, что противоречит соотношению (2)).
Достаточное условие: Если F(x) дифференцируема на отрезке [a,b] и F(x)>0(F(x)<0) для х [a,b], то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [a,b].
Пусть F’(x)>0 при х [a,b].
Возьмем любые точки х1 и х2 из отрезка [a,b] про х1<х2.
По теореме Лагранжа
F(x1)- F(x2)= F’(с)(x1-х2), где с(х1,х2).
По условию F’(с)>0 F(x1)- F(x2)>0, или F(x2)>F(x1), т.е.
функция F(x) на отрезке [a,b] возрастает.
10.)Экстремумы функции: определение, необходимое условие экстремума (Теорема Ферма). Достаточные условия экстремума.
Пусть ∈ D(f), внутренняя точка D(f) (т.е. некоторая окрестность точки , целиком лежащая во множестве D(f)).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Точка точка максимума функции, если такая δ - окрестность U(, δ) точки , что f(x)<f(), x ∈ U*(, δ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Точка точка минимума функции, если такая δ - окрестность U(, δ) точки , что f(x)>f(), x ∈ U*(, δ).
Замечания:
-
«Глобальные» - наибольшее и наименьшее значение
«Локальные» - точки экстремума
-
Некоторые минимумы могут быть больше максимумов
ТЕОРЕМА (необходимое условие экстремума, теорема Ферма)
Пусть - точка экстремума функции f(x) и f(x)-дифференцируема в точке . Тогда f ’()=0.
Геометрический смысл:
Если - точка экстремума функции f(x) и кривая y=f(x) имеет невертикальную касательную в точке (,f(), то эта касательная - горизонтальная.
Доказательство: Пусть x = - максимум функции f(x)
Δx ≠0
f(+ Δx ) < f();
f(+ Δx ) - f() < 0;
y’=
= ≥ 0
= ≤ 0
(≥,≤ - по свойству пределов)
=0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Стационарные точки- точки, в которых (x)=0.
Теорема (первое достаточное условие экстремума)
Пусть внутренняя точка D(f), f(x) непрерывна в U(, δ), f(x) дифференцируема в U(, δ) или в U*(, δ).
Если при переходе через точку производная функции меняет знак, то - точка экстремума. При этом, если производная меняет знак с «+» на «-» , то - точка максимума, если с «-» на «+», то- точка минимума.
Доказательство: Предположим сначала, что производная меняет знак с «+» на «-», т.е. что для всех x, достаточно близких к точке , имеем
f ‘(x) > 0 при x <
f ’(x) < 0 при x
Применяя теорему Лагранжа к разности f(x) - f(, получим
f(x) - f(=f ‘(ξ) (x-, где ξ-точка,лежащая между x и
-
Пусть x<, тогда
ξ< , f ‘(ξ) > 0, f ‘(ξ) (x- < 0
следовательно, f(x) - f( < 0
-
Пусть x, тогда
ξ > , f ‘(ξ) < 0, f ‘(ξ) (x- < 0
следовательно, f(x) - f( < 0
Соотношения (1) и (2) показывают, что для всех значений x, достаточно близких к , значения функции меньше, чем значение функции в точке Следовательно, в точке функция имеет максимум.
Замечание: Точками экстремума могут быть не только стационарные точки, в которых функция не имеет производной ( точки разрыва производной).
Стационарные точки и точки, в которых производная не существует - критические точки 1 рода.
Теорема (второе достаточное условие экстремума)
Пусть внутренняя точка D(f) и f(x) n раз дифференцируема в точке ,
f ‘(=f ‘’(=…=(=0, ( ≠0.
Тогда:
-
Если n- четное и (>0, то - минимум.
-
Если n- четное и (<0, то - минимум.
-
Если n-нечетное, то не является точкой экстремума.
11.)Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба: определения, необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) кривой y=f(x) , необходимые и достаточные условия перегиба кривой y=f(x) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть ℓ – кривая, M0 – точка кривой, причем в M0 существует невертикальная касательная к ℓ.
Кривую ℓ называют выпуклой в точке M0, если в некоторой окрестности этой точки кривая лежит ниже касательной, проведенной к ℓ в точке M0.
Кривую ℓ называют вогнутой в точке M0, если в некоторой окрестности этой точки кривая лежит выше касательной, проведенной к ℓ в точке M0.
Точки кривой, которые разделяют ее выпуклые и вогнутые участки, называются точками перегиба кривой.
Замечания.
1) Выпуклость и вогнутость кривой в точке – локальные понятия. Они определяют относительное расположение точек кривой и касательной вблизи точки касания. В точках, удаленных от точки касания, кривая и касательная могут располагаться произвольным образом.
2) В точке перегиба касательная к кривой (если она существует) пересекает кривую (кривая переходит с одной стороны касательной на другую)
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кривая y = f(x) называется выпуклой (вогнутой) на интервале (a;b) если "xÎ (a;b) кривая выпукла (вогнута) в соответствующей точке M(x ; f(x)).
Замечания.
1) Если M0(x0 ; f(x0)) – точка перегиба кривой y = f(x), то x0 – внутренняя точка области определения функции f(x).
2) Точками перегиба кривой y = f(x) часто называют точки, которые разделяют интервалы выпуклости и вогнутости этой кривой (т.е. абсциссы точек перегиба кривой y = f(x)).
ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) графика функции).
Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на интервале (a;b). Тогда:
1) если кривая y = f(x) выпукла (вогнута) на интервале (a;b), то f ¢¢(x) £ 0 (f ¢¢(x) ³ 0), "xÎ (a;b)
(необходимое условие выпуклости (вогнутости) графика);
2) если f ¢¢(x) < 0 (f ¢¢(x) > 0) "xÎ (a;b),
то кривая y = f(x) выпукла (вогнута) на интервале (a;b)
(достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика)
Доказательство. Возьмем в интервале (a, b) произвольную точку х=х0 и проведем касательную к кривой в точке с абсциссой х—х0. Теорема будет доказана, если мы установим, что все точки кривой на интервале (а, b) лежат ниже этой касательной, т.е. что ордината любой точки кривой y = f(x) меньше ординаты у касательной при одном и том же значении х.
Уравнение кривой имеет вид
V = f(x). (1)
Уравнение же касательной к кривой в точке х = х0 имеет вид
ỹ -f(x0) = f' (xо) (x-xо)
или
ỹ = f(x0)+f'(x0)(x-xQ). (2)
Из уравнений (1) и (2) следует, что разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении х равна
y-ỹ = f(x)- f(x0) – f’ (xо) (x-xo). Применяя теорему Лагранжа к разности f(x) — f(x0), получим
y- ỹ = f’(с) (х-х0)-f’ (х0) (х-xo)
(где с лежит между х0 и х), или
y- ỹ = [f’ (с)-f’ (х0)](х-х0).
К выражению, стоящему в квадратных скобках, снова применяем теорему Лагранжа; тогда
y- ỹ = f’’ (C1) (с - х0) (х-х0) (3)
(где c1 лежит между х0 и с).
Рассмотрим сначала тот случай, когда x>х0. В этом случае xo <с1<с <х;
так как х — x0>0, с — x0>0 и так как, кроме того, по условию, f " (с1) < 0, то из равенства (3) следует, что
y- ỹ <0.
Рассмотрим теперь случай, когда х < хo. В этом случае x<с< c1 < х0 и х — х0 < 0, с — х0 < 0, а так как по условию f" (c1) <0, то из равенства (3) следует, что у — ỹ < 0.
Таким образом, мы доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой, каковы бы ни были значения х и х0 на интервале (а, b). А это и значит, что кривая выпукла. Теорема доказана.
Аналогичным образом доказывается теорема для вогнутости
Теорема:
Пусть кривая определяется уравнением y=f(x)
Ecли f’’(a)=0 или f’’(а) не существует и при переходе через значение х=а производная f’’(x) меняет знак, то точка кривой с абциссой х=а есть точка перегиба
Доказательство:
1)Пусть f’’(x)<0 при x<a и f’’(x)>0 при x<a
Тогда при x<a кривая обращена выпуклостью вверх и при x>a выпуклостью вниз. Значит тчк Акривой с абциссой х=а есть точка перегиба.
2)Если f’’(x)>0 при x<b и f’’(x)<0 при x>b, то при x<b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x>b выпуклостью вверх. Следовательно, точка В кривой с абциссой x=b есть точка перегиба