- •Раздзел 4. Інтэгральнае злічэнне. §4.1. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла.
- •1° Азначэнне нявызначанага інтэграла.
- •Тэарэма 1 (пра агульны выгляд першаіснай). Няхай функцыя ёсць першаісная для на х. Функцыя ёсць таксама першаісная для , калі і толькі калі .
- •2° Уласцівасці нявызначанага інтэграла.
- •§4.2. Асноўныя метады інтэгравання.
- •1º. Метад падстановы.
- •Тэарэма 1. Калі функцыя мае першаісную на прамежку т, а функцыя ёсць дыферэнцавальная на х, прычым , то
- •2º. Метад інтэгравання часткамі.
- •§4.4. Метад рацыяналізацыі.
- •1º. Інтэграванне дробава-лінейнай ірацыянальнасці.
- •2º. Інтэграванне біномнага дыферэнцыяла.
- •3º. Інтэграванне рацыянальна-трыганаметрычных функцый.
- •4º. Інтэграванне квадратовых ірацыянальнасцяў.
- •§4.5. Азначэнне і ўмовы існавання вызначанага інтэграла.
- •Прыклад 1. Вылічыць
- •Прыклад 2. Вылічыць паводле азначэння .
- •Заўвага. Абмежаванасць ёсць недастатковая ўмова для інтэгравальнасці функцыі.
- •Крытэр інтэгравальнасці. Для таго каб функцыя , вызначаная і абмежаваная на адрэзку , была інтэгравальнаю на гэтым адрэзку, неабходна і дастаткова, каб гэтая функцыя адпавядала ўмове
- •§4.6. Класы інтэгравальных функцый.
- •Тэарэма 1 (Інтэгравальнасць непарыўнай функцыі). Непарыўная на адрэзку функцыя ёсць інтэгравальная на гэтым адрэзку.
- •§4.8. Ацэнкі інтэгралаў.
- •Вынік 2 (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне непарыўнай функцыі). Калі функцыя ёсць непарыўная, то існуе лік такі, што
- •1º. Формула Ньютана-Ляйбніца.
- •2º. Замена зменнай .
- •3º. Інтэграванне часткамі.
- •4º. Інтэграванне цотнай, няцотнай і перыядычнай функцый.
- •1º.Плошча плоскай фігуры.
- •Прыклад 1. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывымі і .
- •Прыклад 2. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывой . ►Спачатку зробім рысунак фігуры
- •2º. Даўжыня крывой.
- •Прыклад 3. Вылічыць даўжыню адной аркі цыклоіды (акружына радыюса коціцца па восі абцысаў).
- •3º. Аб’ём цела авароту.
- •Прыклад 5. Вылічыць аб’ём тора, г. Зн. Цела, якое атрымліваецца ад авароту круга радыюса вакол восі, што ляжыць у плоскасці гэтага круга на адлегласці ад яго цэнтра.
- •§4.13. Інтэграл па бясконцым прамежку (ні-1).
- •Прыклад 1. Вылічыць .
- •Тэарэма 2 (лімітавая прыкмета параўнання). Няхай функцыя а і няхай . Тады:
- •Калі ёсць збежны і , то – таксама збежны;
- •2) Калі ёсць разбежны і , то – разбежны.
- •Прыклады. А) збежны, бо .
- •§4.15. Умоўная збежнасць ні-1.
- •Тэарэма 1 (Прыкмета Дырыхле). Няхай функцыя ёсць непарыўная і мае абмежаваную першаісную на . Няхай функцыя ёсць непарыўна дыферэнцавальная і манатонная на і . Тады інтэграл – збежны.
- •Тэарэма 2 (прыкмета Абэля). Калі функцыя ёсць непарыўная на і – збежны, а функцыя абмежаваная і яе вытворная – непарыўная і не мяняе знаку на , то – збежны.
- •Прыклад 1. Даследаваць на абсалютную збежнасць інтэграл .
- •Прыклад 2. Даследуем інтэграл Фрэнэля на збежнасць.
- •§4.16. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый.
Прыклад 1. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывымі і .
►
.◄
1.2) Плошча крывалінейнага сектара. Няхай крывая зададзена ў палярнай сістэме каардынатаў , дзе – непарыўная функцыя.
Плоскую фігуру будзем называць крывалінейным сектарам. |
Няхай – некаторы падзел адрэзку з дробнасцю падзела , а – некаторая выбарка пунктаў . Паколькі плошча кругавога сектара з радыюсам , які змяшчае цэнтральны вугал , роўная [атрымліваецца з прапорцыі ], то плошча крывалінейнага сектара набліжана роўная , дзе . Калі , то . Такім чынам
Прыклад 2. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывой . ►Спачатку зробім рысунак фігуры
◄
Калі фігуру разглядаць у дэкартавай сістэме каардынатаў, то . |
|
1.3) Для вылічэння плошчы крывалінейнай трапецыі, калі яе верхняя мяжа зададзена параметрычна , прычым , (тут важна , гэта будзе, калі ) трэба ў формуле зрабіць замену зменнай . Пры гэтым . Атрымаем
.
2º. Даўжыня крывой.
2.1) Разгледзім плоскую крывую , дзе – непарыўная на функцыя. Няхай – адвольны падзел адрэзка . Крывую падзелім пунктамі . Злучым суседнія пункты хордамі і атрымаем умежаную ў крывую ламаную, якую абазначым .
Няхай – даўжыня хорды гэтай ламанай, – даўжыня найбольшай з хордаў, а – даўжыня ламанай .
def. Лік называецца даўжынёй крывой і абазначаецца , калі . Пры гэтым кажуць, што лік ёсць ліміт даўжыняў ламаных , умежаных у крывую пры і пішуць . Крывую, якая мае даўжыню, называюць выпрастальнаю.
Дапусцім, што мае на непарыўную вытворную (г. зн. крывая гладкая). Няхай – пункты падзелу крывой, . Тады , а
Калі , а таму
(1)
2.2) Няхай гладкая крывая зададзена параметрычна , , прычым – непарыўныя на і (у кожным пункце крывой павінна існаваць вытворная), г. зн. – манатонная. А паколькі , то – нарастальная, г. зн. . Калі ў (1) зрабіць замену , атрымаем
(2)
Калі , то ,
.
Атрымалі так званую формулу дыферэнцыяла дугі
Заўвага. Непарыўная крывая можа быць кавалкава-гладкаю. Тады яе даўжыня – сума даўжыняў гладкіх кавалкаў.
Прыклад 3. Вылічыць даўжыню адной аркі цыклоіды (акружына радыюса коціцца па восі абцысаў).
►
Маем раўнанне цыклоіды
◄
2.3) Калі крывая зададзена ў палярных каардынатах , прычым – непарыўная, то, ўлічваючы , маем параметрычнае заданне крывой . Паколькі
,
то . З формулы (2) маем
3º. Аб’ём цела авароту.
3.1) Разгледзім цела , якое атрымліваецца аваротам крывалінейнай трапецыі вакол восі , дзе функцыя непарыўная на .
Няхай – некаторы падзел адрэзка з дробнасцю падзела . На кожным адрэзку выберам і пабудуем прамавугольнік
Кожны прамавугольнік пры авароце вакол восі утворыць цыліндр, аб’ём якога . Тады аб’ём цела, атрыманага аваротам трапецыі вакол восі , набліжана роўны . Гэтую суму можна разглядаць як інтэгральную суму для функцыі з падзелам і выбаркай . Паколькі ёсць непарыўная на , то ліміт інтэгральнай сумы існуе і .
3.2) Разгледзім цяпер цкла, якое атрымліваецца аваротам крывалінейнай трапецыі вакол восі . Пункт выберам пасярод адрэзка , г.зн. . Элементарны аб’ём разгледзім як розніцу аб,ёмаў цыліндраў
.
Паколькі , то пры маем .
Заўвага. Калі праекцыя цела на вось ёсць адрэзак і фігура, якая атрымліваецца пры перасячэнні цела плоскасцю , мае плошчу , то аб’ём цела вылічаецца паводле формулы .