- •Понятие дифф. Уравнения.
- •2)Дифф уравнение первого порядка. Задача Коши и теорема Коши
- •3)Понятие общего,частного и особого решения дифф ур-я первого порядка
- •5)Дифф ур-е первого порядка с разделяющимися переменными
- •6)Линейные дифф ур-я первого порядка. Теорема Коши
- •7) Уравнение Бернулли
- •8)Уравнение в полных дифференциалах
- •9)Однородное дифф уравнение первого порядка
- •10)Дифф ур высших порядков. Понятие общего и частного решения
- •11)Дифф ур высших порядков. Задача Коши. Теорема Коши.
- •12) Ур высших порядков допускающие понижение порядков
- •13) Линейные однородные дифф ур второго порядка. Структура общего решения
- •14)Структура общего решения линейного неоднородного ур второго порядка
- •15)Метод вариации пр пост (метод Лагранжа) отыскания частного решения неоднородного линейного дифф ур второго порядка
- •16) Линейные однородные дифф ур второго порядка с постоянными коэф
- •17)Линейные неоднородные дифф ур второго порядка с постоянными коэфф. Метод неопределенных коэф.
- •18)Дифф ур с частными производными. Основные понятия.
- •19)Квазилинейные и линейные дифф ур с частными производными второго порядка и их классификация
- •20) Канонические формы квазилинейных дифф ур-й с частными производными второго порядка
- •21) Задача о свободных колебаниях конечной струны. Метод Фурье,
- •22)Приближенные методы решений уравнения
- •23)Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа
- •24)Метод наименьших квадратов решения систем линейных уравнений
- •25)Метод наименьших квадратов аппроксимации ф-й. Основные двухпараметрические семейства ф-й.
- •26)Численное интегрирование. Формулы прямоугольников.
- •27)Численное интегрирование. Формула трапеций и Симпсона
- •28)Метод Монте-Карло
- •29)Численное дифференцирование
- •30)Метод Эйлера решения начальных задач для обыкновенных дифф ур
- •31)Метод Рунге-Кутта
- •32) Метод степенных рядов решения начальных задач для обыкновенных дифф уравнений
-
Понятие дифф. Уравнения.
Уравнение в котором в качестве неиз-й величины выступает та или иная ф-я наз-я функциональным уравнением. Пример: f(x1)f(x2)=f(x1+x2)
Дифф уравнением наз-я уравнение относительно неизвестной функции ее производных различных порядков и независимых переменных. Пример: y*y’’’+sinx=0 y=y(x)
Если в дифф уравнении в качестве неиз-й ф-и выступает ф-я одной переменной то такие уравнения наз-я обыкновенными дифф ур-и, если же в качестве переменных выст-т ф-я нескольких переменных то такие ур-я наз-я дифф ур-и в частных производных. Порядком дифф уравнения наз-я наивысший из порядков производных входящих в данное дифф уравнение. Ф-я y=y(x) наз-я решением дифф уравнения F(x,y,y’,y’’,…,y(n))=0 (*) на некотором числовом промежутке если вып-я след-е условия: 1)y=y(x) n раз дифф на промежутке дельта 2)будучи подставленной в ур-е (*) ф-я y=y(x) обращает его в верное равенство на дельта. Процесс отыскания решений дифф уравнений наз-я интегрирование дифф уравнения, а графики решений дифф ур-я нгаз-я интегральными кривыми
2)Дифф уравнение первого порядка. Задача Коши и теорема Коши
Рассмотрим дифф ур-е первого порядка F(x,y,y’)=0 (1) Если ур-е (1) можно выразить y’, y’=f(x,y) (2) то в этом случае ур-е (2) наз-я разрешенным относительно производной.
dy/dx=f(x,y) (2’)
y=фи(х) определенная на ∆ из R наз-я решением дифф ур-я (2) на ∆ если вып-я условия
1)(х,фи(х)) принадлежать D(f)
2)y=фи(х) дифф на ∆
3)х принадлежит ∆ фи(х)=f(x,фт(х))
Теорема Коши
Пусть для дифф ур-я (2) вып-я след-е условия функции f(x,y) и f’y(x,y) непрерывны в некоторой области G из R^2 тогда какова бы ни была внытр-я точка (x0,y0) G в некоторой окр-и (x0-h;x0+h) сущ-т и при том ед-е решение ур (2) y=фи(х) уд-е начальному условию
Теорема Коши имеет локальный характер, т.е. она указывает на сущ-е и ед-ь решения в достаточной малой окрестности точки
Теорема Коши дает достаточное условие сущ-я единственности решения
3)Понятие общего,частного и особого решения дифф ур-я первого порядка
Рассмотрим дифф ур-е первого порядка резоешенное относительно производной y’=F(x,y) (1) где f(x,y) определены на G из R^2 и пусть в этой области вып-я условия теоремы Коши. Ф-я y=фи(x,c) зависящая от переменной X b произвольной постоянной С наз-я общим решением дифф ур-я (1) области G если вып-я след-е условия: 1)при любом допустимом значении пр пост С ф-я y=фи(x,c) уд-т ур-ю (1) т.е. фи’(x,c)=(x,фи(x,c))) для всех x из Е 2)для любой внутренней точки M0(x0,y0) из G найдется такое значение пр пост С=С0 что ф-я y=фи(x,c0) будет уд-ь начальному условия y(при х=х0)=у0. Вякая ф-я видя у=фи(х,с0) полученная из общего решения дифф ур-я видя (1) при конкретном значении пр пост при С=С0 наз-я частным решением дифф ур-я (1). Решение дифф уравнения (1) наз-я особым, если через любую точку изображающей ее интегральной кривой проходит по крайней мере еще одна инт-я кривая того же ур-я. Особым решением дифф ур-я наз-я такое решение в каждой точку которого нарушается единственное решение задачи Коши.
4)Геометрическое истолкование дифф уравнения первого порядка. Метод изоклин
Пусть дано y’=f(x,y) f(x,y) определена и непрерывна в некоторой области G и пусть у=у(х) инт-я кривая данного уравнения проходящая через некоторую М(хбу) из G