Матрицы вращения в пространстве Матрица вращения вокруг оси х Матрица вращения вокруг оси y на угол j: на угол y:

Матрица вращения вокруг оси Z

на угол c:

Перспективная проекция

Предположим, что центр проектирования лежит на оси OZ в точке С (0, 0, с) и плоскость проектирования совпадает с плоскостью XOY. Тогда для произвольной точки М (х, у, z) координаты М* (х*, у*, z*), полученные после перспективного проектирования, находятся следующим образом:

Проектирующие параллельные линии сходятся в одной точке, которая называется точкой схода. Перспективная проекция различается по количеству точек схода: одноточечная, двухточечная и трехточечная.

Матрица перспективного преобразования Q с центром проектирования в точке С (0, 0, с):

В общем случае, когда координатные оси не параллельны картинной плоскости, таких точек три. Тогда матрица соответствующего преобразования выглядит так:

Точки (-а, 0, 0), (0, -b, 0) и (0, 0, -с) есть главные точки схода.

Матрица перспективного преобразования является невырожденной, поэтому для получения перспективной проекции трехмерного объекта на плоскости матрицу Q необходимо перемножить с матрицей параллельного проектирования :

Необходимость разработки данной программы можно обосновать несколькими аргументами.

Во-первых, данная программа создается как обучающая и при использовании позволит быстро и, что очень важно, наглядно ознакомить пользователя с методом построения трехмерного объекта с учетом перспективы - очень немногие графические программы ориентированы на обучение. А возможность закрепления на бумаге полученных результатов делает использование программы более удобным.

Во-вторых, программа основана на применении алгоритма к трехмерным объектам, что, несомненно, позволяет найти еще несколько плюсов в ее разработке. Дело в том, что это значительно расширяет круг пользователей до границ не только желающих ознакомиться с методом построением трехмерных объектов с учетом перспективы, но и нуждающихся в демонстрации наглядного построения. А это, учитывая некоторую сложность при трехмерном восприятии данных объектов, делает использование программы более удобным, чем применение бумажных иллюстраций.

2.2. Выбор, обоснование и описание метода моделирования и алгоритма.

2.2.1. Алгоритм вращения по осям координат

1. Начало.

2. Ожидание выбора пользователем действия программы.

Таблица 1

Условие:	Дейстиве:
Вращение объектов по оси ОХ	phi := PI / 180; Cub := RotX(Cub, phi); Cub2 := RotX(Cub2, phi); Cub3 := RotX(Cub3, phi); Cub4 := RotX(Cub4, phi); Cub5 := RotX(Cub5, phi); Cub6 := RotX(Cub6, phi); Pr := RotX(Pr, phi);
Вращение объектов по оси ОY	psi := PI / 180; Cub := RotY(Cub, psi); Cub2 := RotY(Cub2, psi); Cub3 := RotY(Cub3, psi); Продолжение таблицы 1
Условие:	Дейстиве:
	Cub4 := RotY(Cub4, psi); Cub5 := RotY(Cub5, psi); Cub6 := RotY(Cub6, psi); Pr := RotY(Pr, psi);
Вращение объектов по оси OZ	hi := PI / 180; Cub := RotZ(Cub, hi); Cub2 := RotZ(Cub2, hi); Cub3 := RotZ(Cub3, hi); Cub4 := RotZ(Cub4, hi); Cub5 := RotZ(Cub5, hi); Cub6 := RotZ(Cub6, hi); Pr := RotZ(Pr, hi);
Отмена вращения по осям координат	Cub := FCub; Cub2 := FCub2; Cub3 := FCub3; Cub4 := FCub4; Cub5 := FCub5; Cub6 := FCub6;
Остановка вращения по осям координат	Timer1.Enabled:= chbRotate.Checked;

3. Вращение объектов либо по оси ОХ, либо по оси ОY, либо по оси OZ, пока не нажата кнопка «Сброс» - для возврата в исходное положение, либо не приостановлено вращение.

4. Конец.

2.2.2. Алгоритм вращения осей координат

1. Начало.

2. Ожидание выбора пользователем действия программы.

Таблица 2

Условие:	Действие:
Вращение оси ОХ	x := x + 1;
Вращение оси OY	y := y + 1;
Вращение оси OZ	z := z + 1;
Отмена вращения осей координат	x := 30; y := -40; z := 0;
Остановка вращения осей координат	Timer1.Enabled := chbRotCoord.Checked;

3. Вращение либо оси OX, либо оси OY, либо оси OZ, пока не нажата кнопка «Сброс» - для возврата в исходное положение, либо не приостановлено вращение.

4. Конец.

2.2.3. Алгоритм увеличения или уменьшения

1. Начало.

2. Перемещение «бегунка».

Таблица 3

Условие:	Действие:
Увеличение / уменьшение объектов	scal := tbScale.Position;

3. Уменьшение или увеличивание объектов, в соответствии с положением «бегунка».

4. Конец.

2.2.4. Алгоритм перспективной проекции

1. Начало.

2. Ввод координат точек схода.

Таблица 4

Условие:

Действие:

Задание точек схода и расчет матрицы перспективной проекции

if StrToFloat(Form2.edX.Text) <> StrToFloat('0') then xx := 1 / StrToFloat(Form2.edX.Text) else xx := 0; if StrToFloat(Form2.edY.Text) <> StrToFloat('0') then yy := 1 / StrToFloat(Form2.edY.Text) else yy := 0; if StrToFloat(Form2.edZ.Text) <> StrToFloat('0') then zz := 1 / StrToFloat(Form2.edZ.Text) else zz := 0; //Задаём матрицу перспективной проекции Perspect[0, 0] := 1; Perspect[0, 1] := 0; Perspect[0, 2] := 0; Perspect[0, 3] := xx; Perspect[1, 0] := 0; Perspect[1, 1] := 1; Perspect[1, 2] := 0; Perspect[1, 3] := yy; Perspect[2, 0] := 0; Perspect[2, 1] := 0; Perspect[2, 2] := 1; Perspect[2, 3] := zz; Perspect[3, 0] := 0; Perspect[3, 1] := 0; Perspect[3, 2] := 0; Perspect[3, 3] := 1;

3. Задание точек схода и расчет матрицы перспективной проекции, после чего пересчет координат вершин объектов.

4. Конец.

2.3. Выбор и обоснование языка программирования.

При выборе языка программирования учитывалось следующее: доступность языка, удобный графический интерфейс, легкость в использовании, хорошее знание языка автором программы. Всем этим требованиям отвечает язык программирования OpenGL.