- •1. Простейшая разностная схема для задачи Дирихле
- •1.1 Построение
- •1.2 Аппроксимация
- •1.3 Устойчивость
- •Описания метода установления
- •3. Анализ алгоритмов, реализующих метод установления
- •3.1 Представление решения разностной двумерной задачи теплопроводности в виде конечного ряда Фурье
- •3.2 Анализ явной схемы установления
- •3.3 Анализ схемы переменных направлений
- •3.4 Выбор точности
3. Анализ алгоритмов, реализующих метод установления
В случае решения разностной задачи Дирихле (1) параграфа 2, удается провести теоретический анализ различных алгоритмов установления с помощью конечных рядов Фурье.
3.1 Представление решения разностной двумерной задачи теплопроводности в виде конечного ряда Фурье
Рассмотрим сетку причем , М – натуральное. Совокупность вещественных функций , определенных в точках сетки и обращающихся в нуль в точках, лежащих на границе квадрата, с обычными операциями сложения и умножения их на вещественные числа, образует линейное пространство.
Введем в нем скалярное умножение
В рассматриваемом линейном пространстве размерности (М – I)2 система функций
образует ортонормальный базис.
То есть .
Докажем это.
Заметим следующее:
.
Учитывая формулу получим:
Если -четное, то числители обоих дробей равны 0.
Если -нечетное:
(1)
Пусть, .
Рассмотрим, как ведет себя следующее выражение:
(2)
Так как , то и одной четности.
Значит с учетом (1) при =0 (3)
При (4)
Из (3) следует, что .
Любая функция обращающаяся в нуль на границе квадрата, разлагается в конечный двумерный ряд Фурье.
,
где .
Найдем следующее выражение, которое будем использовать в дальнейшем:
, при .
(5)
Рассмотрим теперь двумерную задачу теплопроводности
, (6)
Здесь через обозначена боковая поверхность параллелепипеда .
Построим сетку , причем будем считать , где М-натуральное. За примем точки сетки, лежащие внутри и на границе параллелепипеда.
Обозначим
Операторы и совершенно аналогичны, только первый действует по переменному т, в то время как n и p – параметры, а второй–по переменному п, а т и р–для него параметры. Простейшая разностная схема для задачи (6) есть
(7)
Ищем решения разностного уравнения при условии вида
. (8)
Пусть , . Тогда =
Преобразуем и учитывая (5):
====
=
Тогда
= (9)
=
Подставим (8) и (9) в первое уравнение (7):
Или .
Решение (10)
удовлетворяет условиям на боковой границе при любом выборе постоянных . При это решение принимает вид .
Для того чтобы выполнялось заданное начальное условие
в качестве надо взять коэффициенты Фурье функции , т.е.
=
В силу формулы (10) коэффициентом при в разложении в ряд Фурье служит число (). Поэтому
(11)
3.2 Анализ явной схемы установления
Решение задачи (1) § 2, удовлетворяет уравнениям
+
Вычитая эти равенства из уравнений (4) § 2 почленно, получим для погрешности следующую разностную задачу:
+
0 (12)
Заметим, что сеточная функция при каждом р, р=0,1,…, обращается в нуль на границе Г. Ее можно считать элементом линейного пространства функций, определенных на сетке , и обращающихся в нуль в точках Г. Норму в этом пространстве определим, как в пункте 3.1, равенством
В пункте 3.1 мы получили представление для решения задачи (12) в виде конечного ряда Фурье.
где – коэффициенты разложения начальной погрешности в конечный ряд Фурье, а числа задаются формулой
=
Числа являются коэффициентами разложения погрешности в ряд Фурье по ортонормальному базису =2.
Поэтому из (11) следует
Или с учетом того, что, получаем .
Таким образом, для стремления к нулю при нужно, чтобы выполнялось неравенство
<1
Наиболее быстрое убывание погрешности получится при таком выборе , при котором принимает наименьшее возможное значение. Из формулы (11) находим самую левую и самую правую точки :
-минимальна, когда максимальна сумма , то есть при .
Самая левая точка .
-максимальна, когда минимальна сумма , то есть при .
Самая правая точка .
Увеличивая , начиная от = 0, мы вызываем сдвиг обеих этих точек влево. При том значении , при котором эти точки будут симметричны относительно точки =0, дальнейшее увеличение нецелесообразно. Действительно, при таком увеличении правая точка будет продолжать приближаться к нулю, но зато левая, которая станет больше ее по модулю, , будет удаляться от нуля.
При том , при котором , и при больших погрешность вообще не будет стремиться к нулю.
Итак, оптимальное находим из условия . При этом
=
Поэтому для уменьшения нормы первоначальной погрешности в заданное число k раз требуется проделать такое число р шагов итерационного процесса (5) § 2, чтобы
Подсчитаем число арифметических действий, необходимых для уменьшения ошибки в е раз. На каждый переход от к требуется арифметических действий. Поэтому их общее число .