- •О конечных пределах
- •Эквивалентных бесконечно малых величин
- •Точка разрыва функции
- •Производная и дифференциал Вычисление производных
- •Дифференцирование сложной функции
- •И дифференциала функции
- •Применение правила Лопиталя к нахождению предела функции
- •Раскрытие неопределенностей типа и
- •Раскрытие неопределенностей типа и
- •Раскрытие неопределенностей типа
- •Применение производной к исследованию функции. Построение графиков функций Промежутки монотонности и точки экстремума функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общий план исследования функции
Производная и дифференциал Вычисление производных
Основные правила дифференцирования:
Если функция и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке:
Таблица производных:
ПРИМЕР 21. Найти производную функции
РЕШЕНИЕ: Используем первое и второе правила дифференцирования
Далее используем формулу для нахождения производной степенной функции (табличная формула N 2):
ПРИМЕР 22. Найти производную функции
РЕШЕНИЕ: Используем правило дифференцирования произведения и табличные формулы N 4 и N 11:
ПРИМЕР 23. Найти производную функции
РЕШЕНИЕ: Используем правило дифференцирования частного и табличные формулы N 9 и N 13:
Дифференцирование сложной функции
Производная сложной функции у = f(u(x)) вычисляется по формуле
То есть, чтобы найти производную сложной функции, нужно сначала продифференцировать "внешнюю" функцию по промежуточному аргументу и так, как если бы аргумент и был независимой переменной, после чего умножить полученный результат на производную от функции и по переменной х.
Это правило распространяется на сложную функцию, состоящую из любого конечного числа дифференцируемых функций.
ПРИМЕР 24. Найти производную функции
РЕШЕНИЕ: Данная функция - сложная, промежуточный аргумент . Согласно приведенному правилу имеем
ПРИМЕР 25. Найти производную функции
РЕШЕНИЕ: Данная сложная функция составлена из трех функций где Применяем правило дифференцирования сложной функции (начиная дифференцировать с "внешней" функции f ):
Геометрический смысл производной
И дифференциала функции
Пусть в декартовой прямоугольной системе координат задана кривая, являющаяся графиком функции и на ней точка Производная функции геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой , т.е. (см. рис.12). Тогда уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
Дифференциал функции f(x) в точке находится по формуле , т.е. равен произведению производной функции в заданной точке на дифференциал(приращение) независимой переменной. Геометрически дифференциал функции в точке представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке и при являются эквивалентными бесконечно малыми. Поэтому справедливо приближенное равенство ~ dy, позволяющее приближенно заменять приращение функции дифференциалом.
ПРИМЕР 26. Найти координаты точки пересечения с осью Оу касательной к кривой , где , проведенной к ней в точке
РЕШЕНИЕ: Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид . Найдем сначала производную :
Вычислим тогда уравнение касательной к заданной кривой в точке Мо(-1,4) запишется в виде:
Теперь находим координаты точки пересечения полученной прямой с осью Оу.
Для всех точек, лежащих на оси Оу, х = 0. Подставим в уравнение касательной х = 0, получим у = 8. Значит, касательная у = 4х + 8 пересекает ось Оу в точке(0,8).
Применение правила Лопиталя к нахождению предела функции
При отыскании предела подстановка предельного значения в ряде случаев приводит к неопределенным выражениям типа: . Тогда вычисление заданного предела называют раскрытием неопределенности соответствующего типа. Обычно при этом используют правило Лопиталя.