- •8.1. Линии второго порядка на плоскости
- •8.2 Поверхности второго порядка в пространстве
- •8.3 Криволинейные системы координат
- •9.1. Вырожденные линии второго порядка
- •9.2 Эллипс и его свойства
- •9.3 Гипербола и ее свойства
- •9.4 Парабола и ее свойства
- •10.1 Эллипсоид
- •10.2 Эллиптический параболоид
- •10.3 Гиперболический параболоид
- •10.4 Однополостный гиперболоид
- •10.5 Двуполостный гиперболоид
10.1 Эллипсоид
Поверхность, задаваемая в ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида
называется эллипсоидом.
Свойства эллипсоида
1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .
2. Эллипсоид обладает:
- центральной симметрией относительно начала координат;
- осевой симметрией относительно координатных осей;
- плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей.
3. В сечении эллипсоида плоскостью, ортогональной любой из осей координат, получается эллипс (см. рис.).
z
y
x
10.2 Эллиптический параболоид
Поверхность, задаваемая в ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида
называется эллиптическим параболоидом.
Свойства эллиптического параболоида
1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что и принимает сколь угодно большие значения.
z
x
y
2. Эллиптический параболоид обладает
- осевой симметрией относительно оси ;
- плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей и .
3.В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или – парабола.
10.3 Гиперболический параболоид
Поверхность, задаваемая в ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида
,
называется гиперболическим параболоидом.
Свойства гиперболического параболоида
1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что – любое.
z
x
y
2. Гиперболический параболоид обладает
- осевой симметрией относительно оси ;
- плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей и .
3.В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат , получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям или , – парабола.
10.4 Однополостный гиперболоид
Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида
называется однополостным гиперболоидом.
Свойства однополостного гиперболоида
1. Однополостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .
z
x y
2. Однополостный гиперболоид обладает (см. рис.)
- центральной симметрией относительно начала координат;
- осевой симметрией относительно всех координатных осей;
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, ортогональной оси координат , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или – гипербола.